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<title>3n+1猜想的一种代数结构</title>
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<h1 class="main_title">3n+1猜想的一种代数结构</h1>
$$ \text{Jimgo , 2021 年 10 月} $$
<!-- =================================第一章=================================================== -->
<section>
<h2>一、问题描述</h2>
<p>3n+1猜想又称冰雹猜想、角谷猜想、Collatz猜想。原猜想定义为对任意的正整数\(n\),按照下方的规则进行操作:</p>
$$
f(n) =
\begin{cases}
n/2, & \text{ 如果} n \text{为偶数} \\
(3n+1)/2, & \text{ 如果} n \text{为奇数}
\end{cases}
$$
<p>若干次后，最终的结果会步入\([2,1,2,1,\ldots]\)的无限循环。</p>
</section>
<!-- =================================第二章=================================================== -->
<section>
<h2>二、三进制计算</h2>
<h3>1、数字的三进制表示</h3>
<p>对于任一由十进制表示的正整数，均有其唯一的三进制表示，如\(15_{(10)} → 120_{(3)}\)。 </p>
<table class="example" id="exp1">
<caption>例一 15的计算步骤</caption>
<tbody>
<tr>
<th>十进制</th>
<th>三进制</th>
</tr>
<tr>
<th><tt>15</tt></th>
<td><tt>120</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>23</tt></th>
<td><tt>212</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>35</tt></th>
<td><tt>1022</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>53</tt></th>
<td><tt>1222</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>80</tt></th>
<td><tt>2222</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>40</tt></th>
<td><tt>1111</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>20</tt></th>
<td><tt>202</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>10</tt></th>
<td><tt>101</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>5</tt></th>
<td><tt>12</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>8</tt></th>
<td><tt>22</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>4</tt></th>
<td><tt>11</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>2</tt></th>
<td><tt>2</tt></td>
</tr>
<tr>
<th><tt>1</tt></th>
<td><tt>1</tt></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<h3>2、数n为偶数时的除以2计算</h3>
<p>三进制表示中，一个数除以2，按以下三种情况计算各位数：</p>
$$ 0 → 0 ; 1 → 0 ;2 → 1 $$
<table class="example" id="exp2">
<caption>例二 不需借位除以2的逐步计算演示</caption>
<tbody>
<tr>
<td>十进制</td>
<td>三进制</td>
<td>借位</td>
</tr>
<tr>
<td><tt>20</tt></td>
<td><tt>202</tt></td>
<td><tt>0</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt></tt></td>
<td><tt><b>1</b>02</tt></td>
<td><tt>0</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt></tt></td>
<td><tt>1<b>0</b>2</tt></td>
<td><tt>0</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt>10</tt></td>
<td><tt>10<b>1</b></tt></td>
<td><tt>0</tt></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>当出位数为1时，除以2不足，需借位至下一位，计算进入借位状态；直到某一位为1时，计算才脱离借位状态。含借位状态的计算变化如下：</p>
$$ 0 → 1 ; 1 → 2 ;2 → 2 $$
<table class="example" id="exp3">
<caption>例三 需要借位除以2的逐步计算演示</caption>
<tbody>
<tr>
<td>十进制</td>
<td>三进制</td>
<td>借位</td>
</tr>
<tr>
<td><tt>34</tt></td>
<td><tt>1021</tt></td>
<td><tt>0</tt></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><tt><b>0</b>021</tt></td>
<td><tt>1</tt></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><tt>0<b>1</b>21</tt></td>
<td><tt>1</tt></td>
</tr>
<tr>
<td></td>
<td><tt>01<b>2</b>1</tt></td>
<td><tt>1</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt>17</tt></td>
<td><tt>012<b>2</b></tt></td>
<td><tt>0</tt></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<h3>3、数n为奇数时的计算</h3>
<p>计算第一步是 \( 3 × n \) 。由于是三进制，只需将该数左移一位后补零即可</p>
<p>如十进制的 \( 5 × 3 = 15\) ,三进制表示为 \( 12 ≪ 1 = 120\)。</p>
<p>计算第二步是 \( (3n+1)/2 \) 。因为\(n\)为奇数，\(3n\)亦为奇数，所以直接进行除以 2 操作末位必然是借位的状态。此时末尾补上的 1 ，按照上文偶数规则会直接化为 2 。</p>
<p>综上所述，\((3n+1)/2 \) 操作在三进制中，只需先将该数按除以2的规则处理各个位数，最后在末尾补上2即可。</p>
<p>如十进制的 \( (3×15+1)/2 = 23 \)，三进制表示该过程为 \( 120 → 21 → 212\)。</p>
<h3 id="s2_4">4、小结</h3>
<p>在三进制表示中，每一位的变化可以如下表述：</p>
$$
\begin{cases}
0 → 0, & \text{ 不借位} \\
1 → 0, & \text{ 不借位} \\
2 → 1, & \text{ 不借位} \\
0 → 1, & \text{ 要借位} \\
1 → 2, & \text{ 要借位} \\
2 → 2, & \text{ 要借位} \\
0 → 2, & \text{ 要借位，而且是末尾后的一位} \\
\end{cases}
$$
</section>
<!-- =================================第三章=================================================== -->
<section>
<h2>三、带借位的视觉化表述</h2>
<p>为了更形象化，下文中会以</p>
<tt>▁</tt> 表示数位 ０；<br>
<tt>▄</tt> 表示数位 １；<br>
<tt>█</tt> 表示数位 ２；<br>
<tt class="tc_red">□</tt> 表示借位 ０ <br>
<tt class="tc_red">■</tt> 表示借位 １ <br>
<tt class="tc_red">☆</tt> 表示借位 ０ <a class="ft" href="#f1">在末尾<sup>①</sup></a>；<br>
<tt class="tc_red">★</tt> 表示借位 １ <a class="ft" href="#f1">在末尾<sup>②</sup></a>；<br>
<table class="example" id="exp4">
<caption>
例四 ( 3 × 22459 + 1 ) / 2 = 33689 的借位视觉化表述
<br>
\(1010210211_{(3)} → 1201012202_{(3)}\)
</caption>
<tbody class="track">
<tr>
<td><tt> </tt><tt>▄▁▄▁█▄▁█▄▄</tt><tt>１０１０２１０２１１</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt>■</tt><tt>▁▁▄▁█▄▁█▄▄</tt><tt>００１０２１０２１１</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt> ■</tt><tt>▁▄▄▁█▄▁█▄▄</tt><tt>０１１０２１０２１１</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt> □</tt><tt>▁▄█▁█▄▁█▄▄</tt><tt>０１２０２１０２１１</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt> □</tt><tt>▁▄█▁█▄▁█▄▄</tt><tt>０１２０２１０２１１</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt> □</tt><tt>▁▄█▁▄▄▁█▄▄</tt><tt>０１２０１１０２１１</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt> ■</tt><tt>▁▄█▁▄▁▁█▄▄</tt><tt>０１２０１００２１１</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt> ■</tt><tt>▁▄█▁▄▁▄█▄▄</tt><tt>０１２０１０１２１１</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt> ■</tt><tt>▁▄█▁▄▁▄█▄▄</tt><tt>０１２０１０１２１１</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt> □</tt><tt>▁▄█▁▄▁▄██▄</tt><tt>０１２０１０１２２１</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt> ■</tt><tt>▁▄█▁▄▁▄██▁</tt><tt>０１２０１０１２２０</tt></td>
</tr>
<tr>
<td><tt> ★</tt><tt>▁▄█▁▄▁▄██▁█</tt><tt>０１２０１０１２２０２</tt></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>容易看出，当运算步骤的当前位数的借位值、数位值，仅仅与上一步骤的前一位数的借位值、该位数位值有关；
即：第一步计算第一位后，第二步即可同步计算第一、二位，依此类推。</p>
<table class="example" id="exp5">
<caption class="w18">例五 数 \(210_{(3)}\) 的多位同步计算</caption>
<tbody class="track">
<tr>
<th>0</th>
<td><tt> </tt><tt>█▄▁</tt></td>
</tr>
<tr>
<th>1</th>
<td><tt>□</tt><tt>▄▄▁</tt></td>
</tr>
<tr>
<th>2</th>
<td><tt>■■</tt><tt>▁▁▁</tt></td>
</tr>
<tr>
<th>3</th>
<td><tt>□■■</tt><tt>▁▄▄</tt></td>
</tr>
<tr>
<th>4</th>
<td><tt>□■□★</tt><tt>▁▁██</tt></td>
</tr>
<tr>
<th>5</th>
<td><tt>□□■□</tt><tt>▁▁█▄</tt></td>
</tr>
<tr>
<th>6</th>
<td><tt>□□□□☆</tt><tt>▁▁▄█</tt></td>
</tr>
<tr>
<th>7</th>
<td><tt>□□■□☆</tt><tt>▁▁▁▄</tt></td>
</tr>
<tr>
<th>8</th>
<td><tt>□□□□☆</tt><tt>▁▁▁█</tt></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>为方便表述，用数字\([0-6]\)表述<a class="ft" href="#s2_4">2.4</a>的7种借位、数位的状况，其中数字\(6\)仅表示当前位是末位。</p>
<table class="example" style="width: 7em;">
<tbody class="track">
<tr>
<td><tt>□□□■■■ </tt><tt>▁▄█▁▄█ </tt><tt>０１２３４５６</tt></td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>原例五替换后如下：</p>
<table class="example" id="exp5_2">
<caption class="w18">例五’ 数 \(210_{(3)}\) 的多位同步计算</caption>
<tbody class="track">
<tr>
<th>0</th>
<td>210</td>
</tr>
<tr>
<th>1</th>
<td>110</td>
</tr>
<tr>
<th>2</th>
<td>330</td>
</tr>
<tr>
<th>3</th>
<td>044</td>
</tr>
<tr>
<th>4</th>
<td>0322</td>
</tr>
<tr>
<th>5</th>
<td>0051</td>
</tr>
<tr>
<th>6</th>
<td>0012</td>
</tr>
<tr>
<th>7</th>
<td>0031</td>
</tr>
<tr>
<th>8</th>
<td>0002</td>
</tr>
</tbody>
</table>
</section>
<!-- =================================第四章=================================================== -->
<section>
<h2>四、等价模型</h2>
<h3>1、\(H\)进制运算<a class="ft" href="#f2"><sup>③</sup></a></h3>
<p>在<a class="ft" href="exp5">例五</a>中，运算至第三步时，末位借位已参与运算；此时抹去首位不再参影响后续步骤计算的零，可得到数\(44_{(H)}\)。
此处定义步骤一至三 \(210_{(3)} → 44_{(H)}\)为\(H\)进制转换，\(44_{(H)}\)为\(210_{(3)}\)的\(H\)进制数。
下面先给出两个显然的引论：</p>
<p><em>\(I\)</em> :<q>任何正整数\(n\) ，\(n \leq 3^k\) 经过 \(k\) 次运算后，可化为\(H\)进制数。</q></p>
<p><em>\(II\)</em>:<q>任何正整数\(n\) 的\(H\)进制数是唯一的。</q></p>
<p>藉此，可以通过对\(H\)进制数的证明，得到\(3n+1\)猜想的证明。下文仅探讨\(H\)进制数的证明的便利性。</p>
<h3>2、数学描述</h3>
<p>本文约定：在\(H^i_j\)以\([0,1,2,…,i]\)上标标注位置，以\([0,1,2,…,j]\)下标标注计算步数，易得\(H^i_j\)的值仅由\(H^{i-1}_{j-1}H^i_{j-1}\)确定的。
根据<a class="ft" href="#s2_4">2.4</a>的规则，可得运算表</p>
<!--
0 3 1 4 2 5 6 next
0 0 0 3 3 1 1 6
1 0 0 3 3 1 1 6
2 0 0 3 3 1 1 6
3 4 4 2 2 5 5 2
4 4 4 2 2 5 5 2
5 4 4 2 2 5 5 2
6 6
-->
<table class="example" id="Matrix">
<caption class="w18">
表二 \(H\)进制计算表<br>
<span style="color: var(--COLOR-GOLD)">\(H^{i-1}_{j-1}\)</span>
<span style="color: var(--COLOR-BLUE)">\(H^i_{j-1}\)</span>
<span style="color: #fff;">\(H^i_j\)</span>
</caption>
<tbody>
<tr>
<td></td>
<td>0</td>
<td>3</td>
<td>1</td>
<td>4</td>
<td>2</td>
<td>5</td>
<td>6</td>
</tr>
<tr>
<td>0</td>
<td>0</td>
<td>0</td>
<td>3</td>
<td>3</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>6</td>
</tr>
<tr>
<td>1</td>
<td>0</td>
<td>0</td>
<td>3</td>
<td>3</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>6</td>
</tr>
<tr>
<td>2</td>
<td>0</td>
<td>0</td>
<td>3</td>
<td>3</td>
<td>1</td>
<td>1</td>
<td>6</td>
</tr>
<tr>
<td>3</td>
<td>4</td>
<td>4</td>
<td>2</td>
<td>2</td>
<td>5</td>
<td>5</td>
<td>2</td>
</tr>
<tr>
<td>4</td>
<td>4</td>
<td>4</td>
<td>2</td>
<td>2</td>
<td>5</td>
<td>5</td>
<td>2</td>
</tr>
<tr>
<td>5</td>
<td>4</td>
<td>4</td>
<td>2</td>
<td>2</td>
<td>5</td>
<td>5</td>
<td>2</td>
</tr>
<tr>
<td>6</td>
<td>-</td>
<td>-</td>
<td>-</td>
<td>-</td>
<td>-</td>
<td>-</td>
<td>6</td>
</tr>
</tbody>
</table>
<p>对任意\(H\)进制序列 \(\mathbb{H}_j = H^{1}_{j}H^{2}_{j}…H^{i}_{j}, \ (H^{i}_{j}\ in\ 0,1,2,3,4,5) \)，定义：</p>
<p>与计算步骤无关，只在序列首位添加元素 0 、末位添加元素 6 的函数 \(S(\mathbb{H}_j) = 0H^{1}_{j}H^{2}_{j}…H^{i}_{j}6 \) </p>
<p>函数 \(T(\mathbb{H}_j) = H^{1}_{j+1}H^{2}_{j+1}…H^{i}_{j+1} = \mathbb{H}_{j+1} \)，其中 \(H^{i}_{j+1}\) 满足上表 \(H^{i-1}_{j-1}H^{i}_{j-1} → H^{i}_{j+1} \) 的映射 </p>
<p>最后可定义\(H\)进制序列每步的计算函数：</p>
<p>\(\varXi(\mathbb{H}_j) = T(S(\mathbb{H}_j)) \)</p>
<p>作者通过计算机验算了所有7位的\(H\)进制数序列，在有限次\(\varXi\)函数计算后，计算最终均为 12 → 31 → 2 → 1 ... ，由此可得\(H\)进制数的\(\varXi\)运算生成树</p>
<pre class="BlackBoard">
1 - 3
\ /
2
|
31
|
12
/ \
5 51
| |
32 322
/ \ / \
4 41 44 441
</pre>
<p>对比原猜想的运算生成树，两者具有相似性，同样印证两个数学结构面向的是同一个数学问题。但直接对生成树的研究是困难的，下文将给出另一个更直观的模型。</p>
<h3>4、拼图模型</h3>
<p>同样易得，\(H^{i-1}_{j-1}\)就是借位的值只有 (0,1) 两种，\(H^i_{j-1}\)就是数位的值，有 (0,1,2) 三种。
用 (x,y) 标识借位的 (0,1) ,用 (a,b,c) 标识数位的 (0,1,2) ，可把\(H\)进制的运算规则融入7张拼图中</p>
<pre class="BlackBoard">
x a x c y b x b y a y c x b
\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ /
0 1 2 3 4 5 6
/ \ / \ / \ / \ / \ / \ / \
a x b x c x a y b y c y b x
</pre>
<p>这里再次用<a class="ft" href="exp5">例五</a>的第三至八步阐明拼图模型的直观性</p>
<pre class="BlackBoard">
0 4 4 6
/ \ / \ / \ / \
a x b y b y b x
/ \ / \ / \ / \
0 3 2 2 6
/ \ / \ / \ / \ /
a x a y c x c x b
/ \ / \ / \ / \ /
0 0 5 1 6
\ / \ / \ / \ /
x a x c y b x b
\ / \ / \ / \ /
0 1 2 6
/ \ / \ / \ /
a x b x c x b
/ \ / \ / \ /
0 3 1 6
\ / \ / \ /
x a y b x b
\ / \ / \ /
0 2 6
</pre>
<p>第一步，首行中间摆好两张 4 的拼图列成 44 ，根据函数\(\varXi\)， 首位摆放拼图 0，末尾摆放拼图 6 ，组成初始值 0446 ；</p>
<p>第二步，按照 (x,b) (y,b) (y,x) 顺序摆放上端相同结点符合的拼图 322 ，首尾添加 0,6 组成 03226 ；</p>
<p>按此逻辑摆放，到第六步时，拼图除了 0,6 ，只有中间有一张 2 。</p>
<p>注意到，虽然 6 与 3 的上联结点都是 (x,b) ，本文硬性规定 6 只能出现在末尾。</p>
<p>由此可得出拼图模型的问题是：</p>
<p><q>有限个由 0,1,2,3,4,5 组成的拼图摆成一行，规定后续每行首尾分别摆放 0,6 拼图，那么经过有限次的摆放后，除了 0,6，最后拼图会出现 2 → 1 → 3 的循环。</q></p>
</section>
<!-- =================================后记=================================================== -->
<section>
<h2>后记</h2>
<p>这个问题我关注了好多年，作为一名业余爱好者一直在研究着。直到2019年底，<a class="ft" href="#ft3">陶哲轩证明了几乎所有数字都满足3n+1猜想</a>，
再加上2020年初肺炎疫情，我有了个不得已的长假期，决定将自己的想法给写下来，2021年国庆假期又添加了些新的想法。
也许此前已有数学家做过了相同的研究，也许是我未查阅对应的文献，极可能是思路完全重合的文献使用的数学语言超出了我所能理解的范围。
此篇文章只是给出了一个模型，而我个人的数学能力不足以证明这个世界难题。希望本文能为有能力的学者带来一点帮助；如不嫌弃，请指出错漏之处。</p>
</section>
<hr />
<!-- =================================脚注及参考文献=================================================== -->
<section>
<p class="ft" id="f1">① ② 为了方便阐述而特意添加的中间状态，事实上不需单独在计算中特别指出。</p>
<p class="ft" id="f2">③ 实际上通过考虑进位的二进制计算同样可以推出H进制，本文不再赘述。</p>
<h2>参考文献</h2>
<p class="ft"><a class="lk" href="http://www.matrix67.com/blog/archives/6756">1. Matrix67 博客中的题目</a></p>
<p class="ft" id="ft3">2. TERENCE TAO ( 陶哲轩 )，ALMOST ALL ORBITS OF THE COLLATZ MAP ATTAIN ALMOST BOUNDED VALUES</p>
<!-- <p class="ft" id="ft3">3. 马成长 许松林 ，角谷猜想的动力学诠释，湖北工学院学报1996年第3期</p> -->
</section>
</body>
</html>
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