diff --git a/42.pimpleFoam.md b/42.pimpleFoam.md
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..ab5cac626161271d3673ab14dafe6925ab4389f0
--- /dev/null
+++ b/42.pimpleFoam.md
@@ -0,0 +1,440 @@
+### 42 $\textit{pimpleFoam}$
+
+$\textit{pimpleFoam}$ 是一个使用PIMPLE算法的瞬态不可压缩求解器。PIMPLE算法是PISO和SIMPLE的组合。该求解器在文件$\text{pimpleFoam.C}$中描述如下。
+
+```
+使用PIMPLE（合并的PISO-SIMPLE）算法对不可压缩的流进行求解的大时间步长瞬态求解器。
+
+湍流模型是通用的，即可以选择层流、RAS或LES。
+```
+
+#### 42.1 控制方程
+
+##### 42.1.1 连续性方程
+
+一般的连续性方程具有以下形式：
+
+<p>
+$$
+\frac{\partial\rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0
+\tag{64}
+$$
+</p>
+
+我们假设流体不可压缩：$\rho = const$
+
+<p>
+$$
+\nabla \cdot \mathbf{u} = 0
+\tag{65}
+$$
+</p>
+
+或者使用其他形式
+
+<p>
+$$
+div(\mathbf{u}) = 0
+\tag{66}
+$$
+</p>
+<p>
+$$
+\frac{u_i}{x_i} = 0
+\tag{67}
+$$
+</p>
+
+##### 42.1.2 动量方程
+
+从纳维-斯托克斯方程出发，得出$\text{pimpleFoam}$的动量方程。
+
+<p>
+$$
+\frac{\partial \rho \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla (\rho \mathbf{u} \mathbf{u}) + \nabla \cdot \tau = -\nabla p + \mathbf{g}= 0
+\tag{68}
+$$
+</p>
+
+我们假设密度为常数，方程两边同除以$\rho$
+
+<p>
+$$
+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla (\mathbf{u} \mathbf{u}) + \frac{1}{\rho}\nabla \cdot \tau = -\frac{\nabla p}{\rho} + \frac{\mathbf{g}}{\rho}
+\tag{69}
+$$
+</p>
+
+最后一项定义成一般源项
+
+<p>
+$$
+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla (\mathbf{u} \mathbf{u}) + \frac{1}{\rho}\nabla \cdot \tau = -\frac{\nabla p}{\rho} + \mathbf{Q}
+\tag{70}
+$$
+</p>
+
+切向应力和压力用新符号表示：$\frac{\tau}{\rho} = \mathbf{R}^{eff}\text{ und } \frac{p}{\rho}=p$
+
+<p>
+$$
+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla (\mathbf{u} \mathbf{u}) + \nabla \cdot \mathbf{R}^{eff} = -\frac{\nabla p}{\rho} + \mathbf{Q}
+\tag{71}
+$$
+</p>
+
+Boussinesq假说允许我们给切向应力加上雷诺应力。这个切向应力—也就是同时包含切向应力与雷诺应力—这里被写做$\mathbf{R}^{eff}$，也就是有效应力张量。 RAS和LES湍流模型都基于Boussinesq假设。
+
+<p>
+$$
+\mathbf{R}^{eff} = -\nu^{eff}(\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^T)
+\tag{72}
+$$
+</p>
+
+<p>
+$$
+R_{ij}^{eff} = -\nu^{eff}(\frac{u_i}{x_j} + \frac{u_j}{x_i})
+\tag{73}
+$$
+</p>
+
+$\tau$的迹满足不可压缩流的连续性方程
+
+<p>
+$$
+tr(\mathbf{R}^{eff}) = -2\nu^{eff}(\frac{u_i}{x_i})=0
+\tag{74}
+$$
+</p>
+
+<p>
+$$
+\frac{u_i}{x_i} = \nabla \cdot \mathbf{u} =0
+\tag{75}
+$$
+</p>
+
+因此，我们可以用$\mathbf{R}^{eff}$偏应力部分替代$\mathbf{R}^{eff}$
+
+<p>
+$$
+\mathbf{R}^{eff} = \underbrace{dev(\mathbf{R}^{eff})}_{偏应力张量} + \underbrace{\frac{1}{3} tr (\mathbf{R}^{eff})\mathbf{I}}_{静水应力张量} 
+\tag{76}
+$$
+</p>
+
+<p>
+$$
+dev(\mathbf{R}^{eff}) = \mathbf{R}^{eff} - \frac{1}{3} \underbrace{tr (\mathbf{R}^{eff})}_{=0}\mathbf{I} 
+\tag{77}
+$$
+</p>
+
+动量方程可以被改写为
+
+<p>
+$$
+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla (\mathbf{u} \mathbf{u}) + \underbrace{\nabla \cdot (dev(\mathbf{R}^{eff}))}_{=div(dev(\mathbf{R}^{eff}))} = -\frac{\nabla p}{\rho} + \mathbf{Q}
+\tag{78}
+$$
+</p>
+
+带入方程72，最终可以得到
+
+<p>
+$$
+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t} + \nabla (\mathbf{u} \mathbf{u}) + \nabla \cdot (dev(-\nu^{eff}(\nabla \mathbf{u} + (\nabla \mathbf{u})^T)))= -\frac{\nabla p}{\rho} + \mathbf{Q}
+\tag{79}
+$$
+</p>
+
+##### 42.1.3 实现
+
+动量方程实现在$\text{UEqn.H}$这个文件中。方程79的前两项可以很容易的在代码列表263中读出。
+
+其中第一项是动量的局部导数—由于流体不可压缩，密度不包含在项内—位于列表263的第5行。这里，源代码中的指令与数学符号的读法非常一致。
+
+<p>
+$$
+\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}\qquad \Leftrightarrow\qquad \text{fvm::ddt(U)}
+$$
+</p>
+
+方程79的第二项描述了动量的对流输运。标识符$\text{phi}$不应该导致混淆。为了方便从源代码中读取方程，这里可以用$\text{U}$代替$\text{phi}$，其并不改变方程的含义。源代码中为什么使用$\text{phi}$与求解过程有关。关于$\text{phi}$的详细讨论见第63节。
+
+<p>
+$$
+\underbrace{\nabla(\mathbf{u}\mathbf{u})}_{div (\mathbf{u}\mathbf{u})} \qquad \Leftrightarrow \qquad \text{fvm::div(phi, U)}
+$$
+</p>
+
+第三项代表的是动量扩散传输项。动量扩散传输是由层流黏度和湍流引起的。因此，由湍流模型处理这个项。见代码列表263的第7行。
+
+<p>
+$$
+\underbrace{\nabla\cdot(dev(\mathbf{R}^{eff}))}_{=div(dev(\mathbf{R}^{eff})} \qquad \Leftrightarrow \qquad \text{turbulence->divDevReff(U)}
+$$
+</p>
+
+方程79的右边两项分别代表压力梯度和源项。
+
+<p>
+$$
+\underbrace{-\nabla p}_{=-grad\ p} \qquad \Leftrightarrow \qquad \text{-fvc::grad(p))}
+$$
+</p>
+
+<p>
+$$
+\mathbf{Q} \qquad \Leftrightarrow \qquad \text{sources(U)}
+$$
+</p>
+
+```
+tmp <fvVectorMatrix > UEqn 
+(
+    fvm::ddt(U) 
+    + fvm::div(phi , U) 
+    + turbulence ->divDevReff(U) 
+); 
+
+UEqn().relax(); 
+
+sources.constrain(UEqn());
+
+volScalarField rAU (1.0/ UEqn().A()); 
+
+if (pimple.momentumPredictor ())
+{ 
+    solve(UEqn() == -fvc::grad(p) + sources(U)); 
+}
+```
+列表 263：$\text{pimpleFom}$的$\text{UEqn.H}$文件
+
+
+#### 42.2 PIMPLE 算法 - 内部机制是怎样的？
+
+这一节我们将要讨论$\text{pimpleFoam}$和$\text{twoPhaseEulerFoam}$, 即两种使用PIMPLE算法的求解器，是如何工作的。代码列表264展示了$\text{pimpleFoam}$的主循环。
+
+第一条指令表示循环所有的时间步。接着是三个$\text{#include}$开头的指令，其主要关于时间步控制。时间步增加以后($\text{runTime ++;}$), PIMPLE循环开始了。
+
+在这个循环里， 首先动量方程被解出($\text{#include "UEqn.H"}$)，然后进入压力修正循环($\text{#include "pEqn.H"}$)。最终，如果有湍流方程的话，PIMPLE循环会对该方程解($\text{turbulence ->correct ();}$)。在每个时间步的结尾数据都会被写出。
+
+
+```
+while (runTime.run()) 
+{
+    #include "readTimeControls.H" 
+    #include "CourantNo.H" 
+    #include "setDeltaT.H"
+    
+    runTime ++;
+
+// --- 压力-速度 PIMPLE 修正循环
+    while (pimple.loop())
+    { 
+         #include "UEqn.H"
+
+         // --- Pressure corrector loop 
+         while (pimple.correct ())
+         { 
+             #include "pEqn.H" 
+         }
+
+         if (pimple.turbCorr ())
+         {
+             turbulence ->correct (); 
+         } 
+    }
+ 
+    runTime.write ();
+}
+```
+
+图105展示了PIMPLE算法的流程图。这个算法在每个时间步都会被执行。如果PIMPLE循环只被执行一次，这个算法就和PISO算法基本一致。我们可以从代码列表271得到这个结论。
+
+![](images/fig105.png)
+
+图105：PIMPLE算法流程图
+
+##### 42.2.1 $\text{readTimeControl.H}$
+
+在代码列表264第三行中，$\text{readTimeControl.H}$被包含在使用了$\text{#include}$的预处理器宏的源码中。这是一种非常常见的方法，可以使OpenFOAM的代码具有结构和秩序。重复使用的代码被写在一个单独的文件中。然后用$\text{#include}$宏把这个文件包含起来。因此，代码的重复就可以避免了。$\text{readTimeControl.H}$文件可能被包含在每个能够使用可变时间步长的求解器中。如果这段代码没有被另外写到一个单独的文件中，这段代码就会在每个可变时间步长的求解器中被发现。维护这段代码，会很累人而且容易出错。
+
+代码列表265显示了$\text{readTimeControl.H}$的内容。第一条指令从$\text{controlDict}$中读取$\text{adjustTimeStep}$参数。如果没有参数（$\text{"adjustTimeStep"}$），那么就会使用默认值。因此，省略$\text{controlDict}$中的参数$\text{adjustTimeStep}$将导致时间步长固定。这是一个非常直接的例子，即只用源代码来确定求解器的行为。在这种情况下，源文件的名称以及变量和函数的名称是不言而喻的。在其他情况下，我们必须深入研究代码，以了解某个命令的作用。
+
+##### 42.2.2 $\text{pimpleControl}$
+
+检查文件$\text{pimpleControl.H}$和$\text{pimpleControl.C}$将加强我们对$\text{pimpleFoam}$内部原理的理解。
+
+###### 求解控制
+
+代码列表266和277展示了$\text{pimpleControl.H}$和$\text{pimpleControl.C}$的部分源码。代码列表266显示了$\text{pimpleControl.H}$中保护数据的声明。
+
+
+```
+    // 受保护数据 
+         // 求解控制
+            //- PIMPLE最大修正数 
+            label nCorrPIMPLE_;
+
+            //- PISO最大修正数 
+            label nCorrPISO_;
+
+            //- 当前PISO修正器 
+            label corrPISO_;
+
+            //- 标记在最后迭代中是否需要求解湍流 
+            bool turbOnFinalIterOnly_;
+
+            //- 收敛标记 
+            bool converged_;
+```
+
+代码列表266：$\text{pimpleControl.H}$中受保护数据
+
+
+```
+void Foam:: pimpleControl ::read() 
+{
+    solutionControl ::read(false); 
+
+    // 读入求解控制 
+    const dictionary& pimpleDict = dict();
+
+    nCorrPIMPLE_ = pimpleDict.lookupOrDefault <label >("nOuterCorrectors", 1); 
+
+    nCorrPISO_ = pimpleDict.lookupOrDefault <label >("nCorrectors", 1);
+    
+    turbOnFinalIterOnly_ = pimpleDict.lookupOrDefault <Switch >("turbOnFinalIterOnly", true); 
+}
+```
+代码列表267：读入$\text{pimpleControl.H}$的求解控制
+
+通过阅读代码，我们可以看到PIMPLE字典中的哪个关键词--它是fvSolution字典的一部分（见第11.5节）--与代码中的哪个变量相关联。代码列表266中的三个受保护变量在代码列表267中被赋值。其中一个在代码和字典中都有相同的名字。另外两个有不同的名字。
+
+###### 注意： 没有合理性检查
+
+$\text{nCorrPimple}$和$\text{nCorrPiso}$是两个控制求解算法的变量。如果$\text{fvSolution}$中的PIMPLE字典中缺少相应的关键字及其值，那么就会使用默认值，关于方法$\text{lookupOrDefault()}$背后的细节，详见第57.3节。事实上，用户可以在$\text{fvSolution}$中赋任何值，只要它是合法的。因此，从源代码的角度来看，一个零或负数都是合法的赋值。对于求解算法来说，一个零或负的赋值是完全没有意义的。 
+
+###### 关键字和算法的联系
+
+关键字$\text{nOuterCorrectors}$的值通过代码列表267被赋给变量$\text{nCorrPIMPLE_}$。这个变量控制PIMPLE循环的遍历频率。代码列表268部分显示了$\text{pimpleControl}$类中的函数$\text{loop()}$的定义。这个函数的返回值决定是否进入PIMPLE循环。在清单268的第5行，一个内部计数器被递增 - 具体就是C++的$\text{++}$运算符将1加到运算符所应用的变量上。之后，内部计数器与$\text{nCorrPIMPLE_}$的值进行比较。如果这个内部计数器等于$\text{nCorrPIMPLE_+1}$的总和，那么函数$\text{loop()}$返回$\text{false}$。这个内部计数器被初始化为0。 代码列表269显示了$\text{solutionControl}$类的构造函数。 $\text{pimpleControl}$类是由$\text{solutionControl}$派生的。因此，$\text{pimpleControl}$的每个实例都有一个从$\text{solutionControl}$继承的内部计数器$\text{corr_}$。第9行说明了计数器$\text{corr_}$如何被初始化为零。
+
+关键字$\text{nCorrectors}$的值通过代码267传递给变量$\text{nCorrPISO_}$。这个变量控制PISO循环-或者修正器循环-的遍历频率。代码列表266显示有两个和PISO循环相关的变量，也就是$\text{nCorrPISO_}$和$\text{corrPISO_}$。第一个变量是阈值第二个是计数器。$\text{nCorrPISO_}$读取自$\text{fvSolution}$中关键字$\text{nCorrectors}$的值。这个值告诉求解器修正器循环应该要遍历多少次。修正器循环时PISO循环的特性。因此，最大修正器循环迭代次数被叫做$\text{nCorrPISO_}$。变量$\text{corrPISO_}$在类$\text{pimpleControl}$的构造函数中被声明，详见代码列表271。在那里该变量被初始化为零。 代码列表270显示了$\text{pimpleControl}$类的函数$\text{correct()}$的定义。 该函数的返回值控制是否输入修正器循环。 在第3行中，每次调用此函数时，计数器$\text{corrPISO_}$都会增加。 在第10行中，将计数器的值与校正器循环迭代的最大次数进行比较。
+
+```
+bool Foam:: pimpleControl ::loop() 
+{
+    read(); 
+
+    corr_ ++;
+
+    /* 为简洁省掉的代码 */ 
+
+    if (corr_ == nCorrPIMPLE_ + 1)
+    {
+        if ((! residualControl_.empty()) && (nCorrPIMPLE_ != 1)) 
+        {
+            Info << algorithmName_ << ": not converged within " << nCorrPIMPLE_ << " iterations" << endl;
+        }  
+
+        corr_ = 0;
+        mesh_.data:: remove("finalIteration"); 
+        return false;
+}
+```
+代码列表268：$\text{pimpleControl.C}$中的一些内容
+
+```
+Foam:: solutionControl :: solutionControl(fvMesh& mesh , const word& algorithmName) 
+:
+mesh_(mesh), 
+residualControl_ (),
+algorithmName_(algorithmName), 
+nNonOrthCorr_ (0),
+momentumPredictor_(true), 
+transonic_(false), 
+corr_ (0),
+corrNonOrtho_ (0) 
+{}
+```
+代码列表269：$\text{solutionControl.C}$中类$\text{solutionControl}$的构造函数
+
+
+```
+inline bool Foam:: pimpleControl :: correct () 
+{
+   corrPISO_ ++;
+
+    if (debug) 
+    {
+        Info << algorithmName_ << " correct: corrPISO = " << corrPISO_ << endl; 
+    }
+
+    if (corrPISO_ <= nCorrPISO_) 
+    {
+        return true; 
+    }
+    else 
+    {
+        corrPISO_ = 0; 
+        return false;
+    }
+}
+```
+代码列表270：$\text{pimpleControI.H}$中的内联函数$\text{correct()}$
+
+
+###### $\text{PIMPLE}$或者$\text{PISO}$算法
+
+代码清单271部分显示了类$\text{pimpleControl}$类的构造函数。首先初始化一些数据。然后调用$\text{read()}$函数。读入求解控制参数后变量$\text{nCorrPIMPLE_}$被测试。如果值为一，那么求解算法就相当于PISO算法。在这个范例中会有相应的信息被打印在终端上。
+
+```
+Foam:: pimpleControl :: pimpleControl(fvMesh& mesh) : 
+  solutionControl(mesh , "PIMPLE"), 
+  nCorrPIMPLE_ (0), 
+  nCorrPISO_ (0), 
+  corrPISO_ (0),
+  turbOnFinalIterOnly_(true), 
+  converged_(false)
+{ 
+    read();
+
+    if (nCorrPIMPLE_ > 1) 
+    {
+     /* 被简化代码 */ 
+    }
+    else 
+    {
+        Info << nl << algorithmName_ << ": Operating solver in PISO mode" << nl << endl; } 
+    }
+}
+```
+代码列表271：$\text{pimpleControl.C}$中$\text{pimpleControl}$的构造函数
+
+##### 42.2.3 外部PIMPLE循环的残差控制
+
+关键字$\text{nOuterCorrectors}$制了PIMPLE算法在每个时间步长所外循环迭代次数。除了固定$\text{nOuterCorrectors}$数之外，外迭代的数量也可以由实际解的残差来控制。如果使用这种残差控制，那么$\text{nOuterCorrectors}$用来设定外迭代的上限，如果用更少的迭代次数达到指定的残差的指定容差，那么外循环被认为已经收敛。
+
+###### 关于OpenFOAM-6的说明
+
+OpenFOAM-6重新组织了PIMPLE算法求解控制类的残差控制框架，使其与SIMPLE求解控制类一致。这种情况下$\text{residualControl}$将对整个模拟起作用，而新的关键字$\text{outerCorrectorResidualControl}$将管理PIMPLE算法的外部循环。
+
+
+```
+PIMPLE 
+{
+    // ... 
+    outerCorrectorResidualControl 
+    {
+        p_rgh 
+        {
+            relTol 0; 
+            tolerance 0.0001; 
+        } 
+    }
+}
+```
+代码列表272：$\text{outerCorrectorResidualControl}$ 
diff --git a/images/fig105.png b/images/fig105.png
new file mode 100644
index 0000000000000000000000000000000000000000..2b97c8ff7c6509077ab4192579f34055f4eb7dfd
Binary files /dev/null and b/images/fig105.png differ