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\documentclass[cn,hazy,black,16pt,screen]{elegantnote}
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\title{物理学史中的大学物理\\
{\small ——电磁学篇}}

\author{冷轩\\
个人简介参见：\url{xuanleng.me}}
\institute{宁波大学物理与科学技术学院}


%\version{2.30}
\date{\zhtoday}

\usepackage{array}

\begin{document}

\maketitle

\centerline{
  \includegraphics[width=0.2\textwidth]{logo-blue.png}
}

\newpage
\tableofcontents   \label{content}


\newpage
\section*{参考资料}
\addcontentsline{toc}{section}{参考资料}
\begin{itemize}
\item 大学物理学下册（赵近芳，王登龙 主编）北邮出版社
\item 大学物理学（马文蔚，高等教育出版社）
\item 电磁学， 贾起民
\item 物理学史（郭奕玲、沈慧君）
\item 物理学史（【美】弗.卡约里 著，戴念组 译）
\item 物理实验史话（郭奕玲 沙振舜 沈慧君 编著）
\item 大学物理中的著名实验（郭奕玲 著）
\end{itemize}

\newpage
为什么要以物理学史的角度讲大学物理？
\begin{itemize}
\item  现在的教材一上来就是几个世纪的成果，像是开启了上帝视角的。但是我们大多数是凡人，要从历史（事物）发展规律来看待一个学科。因为当我们遇到问题，去解决时，是没有上帝视角的（除非有高人指点）。因此比起死的公式，我们更应该学会如何思考问题，解决问题的方法，其中能载入历史的案例就是最好的学习对象。

\item 大学物理是公共基础课，重点在于基本概念和思维方法。对于物理专业，有专门的普通物理（电磁学、光学、热学和力学），然后还有升级版的四大力学（电动力学、热力学统计物理、理论力学和量子力学）。
\end{itemize}


\newpage
\section*{考核方式}
\addcontentsline{toc}{section}{考核方式}

\begin{center}
\fbox{\shortstack[l]{
总成绩=平时成绩40\%\\（考勤、课堂综合表现20\%+课堂小测验10\%+作业10\%）\\+期末考试60\%。
}}
\end{center}



\newpage
\section*{概述}
\addcontentsline{toc}{section}{概述}

\begin{itemize}
\item 电现象和磁现象很早就受到人类的注意，留下了许多文字记载。
\item 17世纪之前，大多属于定性的观察和零碎的知识。
\item 17世纪，有一些系统的研究，但定量的研究则更晚。
\item 18世纪中叶以后，电力和磁力的平方反比定律相继发现，静电学和静磁学开始沿着牛顿力学的发展模式登上科学舞台。此时，电和磁还被当做两种独立的现象对待。
\item 18世纪末，随着电堆的发明，才为进一步研究电流的运动规律，特别是为研究电运动和其他运动形式的联系及转化创造了条件。
\item 19世纪，蓬勃发展的世纪
\begin{itemize}
\item 电流的磁效应、化学效应和热效应相继发现，其规律得到了定量的表述；
\item 建立了统一的电磁理论，证实了电磁波的存在，证明了光和热辐射的本质也是电磁波。
\end{itemize}
\item  经历几个世纪，终于在20世纪前叶形成经典物理学的一大支柱。
\item 20世纪，电磁开花结果的时代，工业革命时代。量子世纪的奠基！
\item 当前21世纪，量子世纪开花结果的时代，……
\end{itemize}






\newpage
\section{静电学（静电场）}
\subsection{电荷与电荷守恒定律}
\begin{center}
\Huge \textbf{\kaishu 提到电荷你会想到什么？}
\end{center}
\vspace{1cm}
\begin{center}
\Huge \textbf{\kaishu 带电粒子有哪些？}
\end{center}
电荷概念的起源：物体带电现象，如：摩擦起电。


\newpage
\textbf{粒子与电荷}：
\begin{itemize}
\item 电子：有带正电的正电子和带负电的负电子，一般说的电子是负电子。电荷集中在半径小于$10^{-18}$m 的小体积内，物理模型简化为无内部结构而具有有限质量和电量的“点”。
\item 质子：只有正电荷，电荷集中在半径约为$10^{-15}$m 的体积内。\footnote{体积都是怎么测到的？}
\item 中子：不带电，但内部也有电荷，靠近中心是正电荷，靠外为负电荷，正负电荷电量相等，对外不显带电。\footnote{怎么发现的？}
\end{itemize}


\textbf{电荷的量子化}：物体所带电荷不是以连续方式出现，而是电荷的最小单元$e=1.602\times 10^{-19}$ C 的整数倍，即
\begin{align}
q = \pm ne (n=0,1,2,3,\cdots )
\end{align}
\begin{itemize}
\item 近代物理从理论上预言，基本粒子由若干种电量为$\pm \frac{1}{3}e$、$\pm \frac{2}{3}e$ 的夸克或反夸克组成。
\item 然而尚未在实验中发现单独存在的夸克。
\end{itemize}


\newpage
\textbf{电荷守恒定律}：在一孤立系统内，无论发生怎样的物理过程，该系统电荷的代数和保持不变。
\begin{itemize}
\item 物理处于中性状态，即内部的正电荷和负电荷量值相等，使物体带电的过程就是使它获得或失去电子的过程。

\item 在粒子的相互作用过程中，电荷是可以产生和消失的。如：
\begin{itemize}
\item 一个高能光子与一个重原子核作用时，该光子可以转化为一个正电子和一个负电子
\end{itemize}
\end{itemize}


\textbf{电荷的相对论不变性}：电荷的电量与其运动状态无关，在不同的参考系观察，同一带电粒子的电量不变。



\newpage
\subsection{库仑定律——电荷间的相互作用力（电力公式）}
\subsubsection{导引}
\begin{itemize}
\item 库仑定律是大学物理B2课程中接触的第一个定律也是电磁学的基础定律；

\item 物理定律建立的一般过程：
\begin{enumerate}
\item 观察现象；
\item 提出问题；
\item 猜测答案；
\item 设计实验测量/验证；
\item 归纳寻找关系、发现规律；
\item 形成定理、定律（常常需要引进新的物理量或模型，找出新的内容，正确表述）；
\item 考察成立条件、适用范围、精度、理论地位及现代含义等。
\end{enumerate}

\end{itemize}


\newpage
\subsubsection{库仑定律的建立——前人的工作}
\begin{itemize}
\item Frankling (富兰克林) 首先发现金属小杯内的软木小球完全不受杯上电荷的影响；
\item 在Frankling的建议下，Priestel做了实验——提出问题
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pictures/Picture1.png}
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pictures/Picture2.png}
%\caption{77k} 
\end{figure}

\item 猜测答案：
	\begin{itemize}
	\item 现象与万有引力有相同规律；
	\item 由牛顿力学可知：球壳对放置的壳外的物体有引力，而放置在球壳内任何位置的物体受力为零。
	\item 类比：电力与距离平方成反比（1766年做的实验，未被重视）
	\begin{align}
	F_{\text{引}}\propto \frac{1}{r^2} \quad \sim \quad F_{\text{电}}\propto \frac{1}{r^2}
	\end{align}
	\end{itemize}
\end{itemize}

\newpage
\begin{itemize}	
\item 设计实验：
	\begin{itemize}
	\item 1769年Robison首先用直接测量方法确定电力定律，得到两个同号电荷的斥力
	\begin{align}
\quad F_{\text{电}}\propto r^{-2.06}
\end{align}
两个异号电荷的引力比平方反比的次方要小些。（研究结果直到1801年发表才为世人所知）
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.3\textwidth]{pictures/Picture3.png}
%\caption{77k} 
\end{figure}


\newpage
	\item 1772年Cavendish(卡文迪许)遵循Priestel的思想设计了实验{\color{red} 验证电力平方反比律}，如果实验测定带电的空腔导体的内表面没有电荷，就可以确定电力定律是遵从平方反比律的即
	\begin{align}
\quad F_{\text{电}}\propto r^{-2\pm\delta} \qquad \delta\text{越小，内表面电荷越少}
\end{align}
他测出不大于0.02（未发表，100年以后Maxwell整理他的大量手稿，才将此结果公诸于世。）
	\end{itemize}
\end{itemize}


\newpage
\subsubsection{库仑定律的建立——库仑的工作}
1785年Coulomb（库仑）扭称实验测电斥力：
\begin{itemize}
\item 数据只有几个，且不准确（由于漏电），不是大量精确的实验；
\item 精度与十三年前Cavendish的实验精度相当。
\end{itemize}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.18\textwidth]{pictures/Picture5.png}
%\caption{77k} 
\end{figure}

\newpage
库仑的电摆实验测电引力：
\begin{itemize}
\item 单摆实验；
\item 电引力单摆周期正比于距离；
\item 与万有引力单摆周期类比，得
\begin{align}
T = 2\pi \sqrt{\frac{L}{Gm}r} \quad \sim  \quad
F_{\text{电}} \propto r^{-2\pm \delta},\delta \le 10^{-2}
\end{align}
\end{itemize}
\begin{figure}[h!]
\centering
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{pictures/Picture4.png}
%\caption{77k} 
\end{figure}

库仑做出了有依据的系统性实验，因此电力定律最后被称为库仑定律。到了1971年，$\delta$的数值已经测到小于$10^{-16}$。


\newpage
\subsubsection{库仑定律的表述}
在{\color{red}真空中}，两个{\color{red}静止的}点电荷$q_1$和$q_2$之间的相互作用力大小和$q_1$与$q_2$的乘积成正比，和它们之间的距离$r$平方成反比；作用力的方向沿着它们的联线，同号电荷相斥，异号电荷相吸。即
\begin{align}
\vec{F} = k\frac{q_1 q_2}{r^2} \vec{r}
\end{align}
其中
\begin{itemize}
\item $F \propto r^{-2\pm \delta}$ 是实验结果； 

\item $F \propto q_1q_2$是类比于引力，定义电量；

\item $\vec{F} // \vec{r}$则是对称性的结果；

\item $k$是引进单位制后引入的常数。
\end{itemize}

可见
\begin{itemize}
\item 上述公式并非都是大量实验的结果，而是在事实基础上理性思维的结果。

\item 如“力”的方向：分析点电荷受力，只能沿联线，否则空间旋转180度就不对了。
\end{itemize}





\newpage
\subsection{例题讲解与评分标准}
\subsubsection{课本9.2—统一变量为$\theta$}
\begin{itemize}
\item \textbf{ 第一步：写出基本公式}
\begin{align}
\vec{F} = k \frac{q_0 q}{r^2}\vec{r}_0
\quad \rightarrow  \quad
\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0} =k \frac{q}{r^2}\vec{r}_0
\quad \rightarrow  \quad
d\vec{E} = k\frac{dq}{r^2}\vec{r}_0
\end{align}
其中$q_0$为考察点的电荷。

\item \textbf{第二步：画出坐标系，做相应的矢量分解}

\item \textbf{第三步：写出微元（矢量改标量）}
\begin{align}
dq = \frac{q}{L}dx
\quad
\rightarrow
\quad
d\vec{E} = k \frac{q}{L} \frac{dx}{r^2}\vec{r}_0
\end{align}
如果有矢量分解，写出分量微元
\begin{align}
dE_x = dE \cdot \cos\theta
\quad
\rightarrow
\quad
dE_x = k\frac{q}{L} \frac{dx}{r^2}\cos\theta
\label{eq283}
\end{align}

\newpage
\item \textbf{第四步：统一变量【难点】}\\
如果变量一致，则直接积分，否则要寻找变量间的关系，进行统一。如，式（\ref{eq283}）中有3个变量$x$、$\theta$和$r$。
\begin{itemize}
\item 变量$x$与$\theta$的关系
\begin{align}
x = a\tan\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) = -a\cot\theta
\end{align}
\begin{align*}
\downarrow
\end{align*}
\begin{align}
dx = a \csc^2\theta d\theta
\end{align}

\item 变量$r$与$\theta$的关系
\begin{align}
r = a\csc \theta
\end{align}
\end{itemize}
于是，有
\begin{align}
dE_x = k\frac{q}{La} \cos\theta d\theta 
\end{align}

\item \textbf{第五步：积分}
\begin{align}
E_x =k\frac{q}{La} \int_{\theta_1}^{\theta_2} \cos\theta d\theta =k\frac{q}{La} (\sin\theta_2-\sin\theta_1)
\end{align}

\item \textbf{最后：讨论}
\begin{itemize}
\item 当$L\rightarrow \infty$时，$E_x=0$；
\item 根据对称性，$E_x=0$。（同样得分）
\end{itemize}
\end{itemize}

\textbf{本题中统一的变量为$\theta$，原则上也可以统一为$x$，积分范围为$-\frac{L}{2}$到$\frac{L}{2}$。平时分给2到4分。}


\newpage
\subsubsection{课本9.2—统一变量为$x$——2021级土木工程1班多位同学供稿}
\begin{itemize}
\item 第一步：写出基本公式
\begin{align}
E=k\frac{q}{r^2}\vec{r}_0
\end{align}

\item 第二步：确定坐标系，做相应的矢量分解

\item 第三步：写出微元
\begin{align}
dq &= \frac{q}{L}dx\\
dE_x &= dE\cdot \cos\theta \\
dE_y & = dE\cdot \sin\theta
\end{align}

\item 第四步：统一变量\\
考虑到
\begin{align}
r^2&= x^2+a^2\\
\cos\theta &= -\cos(\pi-\theta) = -\frac{x}{r} = -\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\\
\sin\theta & =\sin(\pi-\theta) = \frac{a}{r} = \frac{a}{\sqrt{a^2+x^2}}
\end{align}
于是
\begin{align}
dE_x &= dE \cos\theta = k\frac{q}{L} \frac{1}{a^2+x^2}\left( -\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}\right)dx \nonumber\\
&=-k\frac{q}{L} \frac{x}{ (a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} dx
\end{align}
%
\begin{align}
dE_y &= dE \sin\theta = k\frac{q}{L} \frac{1}{a^2+x^2}\cdot\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}dx \nonumber\\
&=k\frac{q}{L} \frac{a}{ (a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} dx
\end{align}

\newpage
\item 第五步：积分
\begin{align}
E_x &= -k\frac{q}{L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \frac{x}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} dx  
= -k\frac{q}{2L}\int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \frac{1}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} d(x^2+a^2) \nonumber\\
&=-k\frac{q}{2L}\cdot (-2) \cdot (a^2+x^2)^{-\frac{1}{2}}\Big|_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} 
=k\frac{q}{L} \left[\left(a^2+\frac{L^2}{4} \right)^{-\frac{1}{2}} - \left( a^2+\frac{L^2}{4}\right)^{-\frac{1}{2}} \right] \nonumber\\
&=0
\end{align}

\begin{align}
E_y & =k\frac{q}{L} a \int_{-\frac{L}{2}}^{\frac{L}{2}} \frac{1}{ (a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}} dx
\end{align}
方式一：通过查积分表，有
\begin{align}
\int (a^2+x^2)^{-\frac{3}{2}} dx = \frac{x}{a^2\sqrt{a^2+x^2}}
\end{align}•

方式二：令
\begin{align}
x =a\tan z \qquad \rightarrow \qquad dx = a \sec^2 z dz
\end{align}
考虑到
\begin{align}
1 +\tan^2 z = \sec^2 z
\end{align}
有
\begin{align}
E_y &= k\frac{q}{L} a \int_{\theta_1}^{\theta_2} (a\sec z)^{-3} \cdot a\sec^2 z dz 
= k\frac{q}{La}  \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sec^{-1} dz \nonumber \\
&= k\frac{q}{La}  \int_{\theta_1}^{\theta_2} \cos z dz
= k\frac{q}{La} (\sin \theta_1 -\sin \theta_2) \nonumber\\
&= k\frac{q}{La}  \left(  \frac{x_1}{\sqrt{a^2+x_1^2}} -  \frac{x_2}{\sqrt{a^2+x_2^2}}\right)
\end{align}
当$L\rightarrow \infty$，则$x_2=-\infty$，$x_1=\infty$，有
\begin{align}
E_y = \frac{2kq}{La}
\end{align}



\textbf{对于物理，写对积分公式就基本可以给满分！！！}
\end{itemize}






\newpage
\subsubsection{课本9.7——2021级土木工程1班庞银楷供稿}
思路：将带电球面看作沿某一直经方向由无数个连续变化的圆环叠加构成。

\begin{itemize}
\item 第三步：写出微元
\begin{itemize}
\item 每个圆环半径为$a=R\sin\theta$。

\item 环带截面宽（半径乘以对应圆心角的弧长）为$Rd\theta$。

\item 环带面积可以看作是将其展开的长方形面积
$S= 2\pi a \cdot Rd\theta = 2\pi R^2\sin\theta d\theta$。

\item 电荷密度为$\sigma = \cfrac{q}{4\pi R^2}$。

\item 于是圆环所带的电量为
\begin{align}
dq = \frac{q}{2} \sin\theta d\theta
\end{align}

\item 带电圆环在$P$点的电场强度为（之前例题）
\begin{align}
dE = \frac{xdq}{4\pi\varepsilon_0(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}
=\frac{q}{8\pi\varepsilon_0}\frac{x\sin\theta}{(a^2+x^2)^{\frac{3}{2}}}d\theta
\end{align}
\end{itemize}

\newpage
\item 第四步：统一变量【数学问题】
\begin{itemize}
\item 此时的变量由$\theta$、$a$、$x$,相互关系有
\begin{align}
a=R\sin\theta, \qquad x=r-R\cos\theta 
\label{eq378}
\end{align}
\item 为了简化积分，引入新的变量$l$，有
\begin{align}
l = (a^2+x^2)^{\frac{1}{2}} 
=(r^2+R^2-2Rr\cos\theta)^{\frac{1}{2}} 
\label{eq384}
\end{align}
于是
\begin{align}
\frac{dl}{d\theta} = \frac{rR\sin\theta}{l}
\qquad
\rightarrow
\qquad
d\theta = \frac{l}{rR\sin\theta}dl
\end{align}
需要注意的是$d\theta$的积分范围是$0$到$\pi$，于是$dl$的积分范围变成$r-R$到$r+R$。

\item 结合(\ref{eq378})与(\ref{eq384})式，$x$与$l$的关系式为
\begin{align}
x = \frac{l^2+r^2-R^2}{2r}
\end{align}

\item 此时电场强度微元改写为
\begin{align}
dE = \frac{q}{8\pi\varepsilon_0} \frac{\frac{l^2+r^2-R^2}{2r}\sin\theta}{l^3} \frac{l}{rR\sin\theta}dl
=\frac{q}{16\pi\varepsilon_0 R r^2}\left(1+\frac{r^2-R^2}{l^2} \right)dl
\end{align}
\end{itemize}

\item 第五步：积分
\begin{itemize}
\item 对于球面外一点有：
\begin{align}
E = &\frac{q}{16\pi\varepsilon_0 R r^2} \int_{r-R}^{r+R} \left(1+\frac{r^2-R^2}{l^2} \right)dl\nonumber \\ 
=& \frac{q}{16\pi\varepsilon_0 R r^2} \int_{r-R}^{r+R} 
\left. \left(l+\frac{R^2-r^2}{l} \right)\right|_{r-R}^{r+R}
= \frac{q}{16\pi\varepsilon_0 R r^2}\cdot 4R 
=\frac{q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}
\end{align}

\item 对于球面内一点有:
\begin{align}
E = \frac{q}{16\pi\varepsilon_0 Rr^2}\left. \left(l+\frac{R^2-r^2}{l} \right)\right|_{R-r}^{r+R}=0
\end{align}

\end{itemize}



\end{itemize}





\newpage
\subsection{知识要点}
\subsubsection{库仑定律与电场强度}
\begin{enumerate}
\item 库仑定律：描述两点电荷间力的大小与方向，表达式为：
\begin{align}
\vec{F} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_1q_2}{r^2}
\end{align}

\item 电场的概念：电荷间力的相互作用的媒介，与考察点电荷无关。
\begin{itemize}
\item 电场强度的表达式为：
\begin{align}
\vec{E} = \frac{\vec{F}}{q_0} =\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{r^2}\vec{r}_0
\end{align}

\item 反过来，点电荷$q$在电场中所受的力为：
\begin{align}
\vec{F} = q\vec{E}
\end{align}
\end{itemize}
\end{enumerate}



\subsubsection{电通量与高斯定理}
\begin{enumerate}
\item 电通量：电场通过任一给定面的大小，标量，表达式为：
\begin{align}
\phi_e = \int_s \vec{E}\cdot d\vec{S}
\quad\text{或}\quad
\phi_e = \oint_s\vec{E}\cdot d\vec{S}
\end{align}
其中注意
\begin{itemize}
\item 面积矢量方向的定义
\item 闭合曲面元法线方向的定义
\end{itemize}

\item 高斯定理：利用对称性方便的求电场分布，静电场中通过任一闭合曲面的电通量与该闭合曲面内所包围的电荷之间的关系。表达式为
\begin{align}
\oint \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{q}{\varepsilon_0}
\end{align}
其中
\begin{itemize}
\item 可通过点电荷被球面包裹的情形，进行简单验证。
\item {\color{red}利用对称性选择合适的封闭曲面是关键。}
\end{itemize}
\end{enumerate}


\newpage
\subsubsection{电场力的功与静电场的环流定理}
\begin{enumerate}
\item 功的定义：力乘以距离(要写成微积分形式)。
\begin{itemize}
\item 电场力的功：
试验电荷在任何静电场中移动时，静电场力所做的功，只与电场的性质、试验电荷的电量及路径起点和终点的位置有关，而{\color{red}与路径无关}。表达式为
\begin{align}
W_{ab} = \int_a^b q_0 \vec{E}\cdot d\vec{l}
\end{align}
\end{itemize}

\item 静电场的环流定理：基于电场力功的性质，可以推导出静电场的环流定理，即：在静电场中，电场强度$\vec{E}$的环流恒等于零。表达式为
\begin{align}
\oint_l \vec{E}\cdot d\vec{l} = 0
\end{align}
\end{enumerate}


\newpage
\subsubsection{电势能与电势}
\begin{enumerate}
\item 电势能：首先人为选定势能零点，一般为无穷远处，电势能则为电场力对电荷运动到势能零点所做的功。表达式为
\begin{align}
E_{pa} = \int_a^\infty q_0 \vec{E}\cdot d\vec{l}
\end{align}
描述点电荷$q_0$在电场$\vec{E}$中$a$点所具有的电势能$E_{pa}$。

\item 电势：为了描述电场自身的能量性质，而不依赖电场中的电荷的电量和位置，引入电势的概念。表达式为
{\color{red}
\begin{align}
U_a = \frac{E_{pa}}{q_0} = \int_a^\infty \vec{E}\cdot d\vec{l}
\end{align}
}
能量为标量，可见电势也为标量，单位为伏特，符合为$V$。

\item 电势差：静电场中两点的电势之差，一般选取无穷远处为电势零点。电荷从$a$点到$b$点，电场力所做的功可以由电势差描述,为
\begin{align}
W_{ab} = q_0(U_a-U_b) =q_0U_{ab}
\end{align}
\end{enumerate}


\newpage
\subsubsection{等势面、电势梯度与电场强度关系*}
\begin{enumerate}
\item 等势面：电场中电势相同的各点组成的曲面。
\begin{itemize}
\item 规定：任意相邻的两等势面之间的电势差相等。
\item 因此，等势面的疏密度可直观地描述电场中电场的强弱：电场强度较强的区域，等势面较密；电场强度弱的区域，等势面较疏。
\end{itemize}

\item 电势梯度：
\begin{align}
\vec{grad} U = \vec{\nabla} U =\frac{\partial U}{\partial x}\vec{i}
+\frac{\partial U}{\partial y}\vec{j} + \frac{\partial U}{\partial z}\vec{k}
\end{align}
\begin{itemize}
\item 物理意义：电势梯度是一个矢量，它的大小为电势沿等势面法线方向的变化率，它的方向沿等势面法向且指向电势增大的方向。
\end{itemize}

\item 电势梯度与电场强度的关系：
\begin{align}
\vec{E} =-\vec{\nabla}U
\end{align}
\end{enumerate}


\newpage
\subsubsection{静电场中的导体}
\begin{enumerate}
\item 静电感应：加入外电场时，自由电子在电场力作用下定向运动，形成感应电荷。

\item 静电平衡：感应电荷产生附加电场$\vec{E}'$，与外电场$\vec{E}_0$抵消。即
\begin{align}
\vec{E}_{\text{内}} = \vec{E}_0 +\vec{E}' =0
\end{align}

\item 处于静电平衡状态的导体的性质：
\begin{enumerate}
\item 导体内部任一点的电场强度为零。

\item 导体表面上任一点的电场强度方向与该处表面垂直。
\begin{itemize}
\item 因为不垂直的话，在表面就会有电场分量，会促使自由电子运动，进而到达平衡点。
\end{itemize}
\item 导体是等势体，导体表面是等势面。
\begin{itemize}
\item 导体内部任意两点电势差为0，因为电场都没有~
\item 导体表面任意两点电势差为0，因为电场与导体表面垂直~
\item 导体表面任意两点电势差为0，所以是等势面~
\end{itemize}

\newpage
\item 导体内部处处没有未被抵消的净电荷，净电荷只分布在导体的表面上。
\begin{itemize}
\item 因为导体内部电场为0，根据高斯定理，取无限小封闭曲面，电荷仍为0，即导体内部体电荷密度$\rho$处处为0。写成表达式为
\begin{align}
\oint_S \vec{E}\cdot d\vec{S} = \frac{\sum q_i}{\varepsilon_0}  = \frac{\int_V \rho dV}{\varepsilon_0} =0 
\qquad\rightarrow\qquad \rho=0 
\end{align}
\end{itemize}

\item 导体以外，靠近导体表面附近处的电场强度大小与导体表面在该处的面电荷密度$\sigma$的关系为
\begin{align}
E=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}
\end{align}
利用高斯定理、静电场中导体内部电场为0和导体表面与电场强度方向垂直可以轻松证明。

\end{enumerate}
\end{enumerate}


\newpage
\subsubsection{静电场中电介质的基本概念}
\begin{enumerate}
\item 什么是电介质？电介质通常是指不导电的绝缘介质，电介质内{\color{red}没有可以自由移动的电荷}。

\item 电介质的分类：
\begin{itemize}
\item 有极分子电介质：分子的正、负电荷的等效中心不重合，形成电偶极子。如 $HCl$，$H_2O$、$CO$等。
\item 无极分子电介质：分子的正、负电荷的等效中心相重合。如$He$、$H_2$、$N_2$、$CO_2$等。
\end{itemize}

\item 电介质的极化：电介质在外电场作用下，内部正、负电荷做微观相对移动，从而表现出带电的现象。

\item 极化电荷（束缚电荷）：电介质极化所出现的电荷。

\item 取向极化与位移极化：微观机制虽有不同，但是宏观结果都是一样，做宏观描述时，不做区分。
\end{enumerate}


\newpage
\subsubsection{极化强度、极化电荷和极化规律*}
\begin{enumerate}
\item 电偶极矩的定义：
\begin{align}
\vec{P} = q\vec{d}
\end{align}

\item 极化强度的定义：介质中单位体积内分子电偶极矩的矢量和。
\begin{align}
\vec{P} = \frac{\sum \vec{P}_{i}}{\Delta V}
\end{align}
其单位为库仑每平方米（$C/m^2$）。电介质的极化强度随着外电场的增强而增大。

\item 在介质中，产生静电场的源电荷由自由电荷和极化电荷构成。在各向同性电介质中，极化强度$\vec{P}$和总电场强度$\vec{E}$的关系为
\begin{align}
\vec{P} = \varepsilon_0 \chi \vec{E}
\end{align}
其中$\chi$是电介质的电极化率。
\begin{align}
\vec{E} = \vec{E}_0 + \vec{E}'
\end{align}
$\vec{E}_0$为自由电荷的电场强度，$\vec{E}'$为极化电荷电场强度。

\newpage
\item 介质中任意闭合曲面中的极化电荷净电量与极化强度的关系为
\begin{align}
\sum q_i' = -\oint_S \vec{P}\cdot d\vec{S}
\end{align}
其中$q_i'$为极化电荷。
\end{enumerate}


\newpage
\subsubsection{介质中的高斯定理}
\begin{enumerate}
\item 在介质中，产生静电场的源电荷由自由电荷和极化电荷构成。此时，电场对任意封闭曲面的电通量不仅取决于包围在该封闭曲面内的自由电荷$q_i$，也取决于包围在该曲面内的极化电荷$q_i'$。

\item 介质中的高斯定理：在静电场中通过任意闭合曲面的电位移通量等于闭合面内{\color{red} 自由电荷}的代数和。即
\begin{align}
\oint_S \vec{D}\cdot d\vec{S} = \sum q_i
\end{align}
其中$\vec{D}$为电位移矢量
\begin{align}
\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} + \vec{P}
\end{align}

\item 对于各向同性的电介质
\begin{align}
\vec{D} = \varepsilon_0\vec{E} +\vec{P} =\varepsilon_0(\vec{E}+\chi \vec{E})
=\varepsilon_0(1+\chi)\vec{E}=\varepsilon_0\varepsilon_r\vec{E} =\varepsilon \vec{E}
\end{align}
其中$\varepsilon_r=1+\chi$是电介质的相对介电常数。
\end{enumerate}


\subsubsection{电容、电容器}
\begin{enumerate}
\item 电容的定义：导体的带电量$q$与电势$U$的比值，即
\begin{align}
C = \frac{q}{U}
\end{align}
其单位是法拉（$F$），反映的是导体储存电荷的能力。

\item 电容器：导体壳$B$与其腔内的导体$A$组成的导体系。其电容为
\begin{align}
C = \frac{q}{U_{AB}}
\end{align}
其中$q$是内导体所带的电量，$U_{AB}$为内外导体间的电势差。

\item 基本思路：
\begin{itemize}
\item 先求电场$\vec{E}$分布；
\item 再求电势差；
\item 最后由定义求电容。
\end{itemize}
\end{enumerate}


\newpage
\section{稳恒电流}
\subsection{知识要点}
\subsubsection{电流与电动势}
\begin{enumerate}
\item 电流密度：矢量，由$\vec{j}$表示，方向沿该点电场$\vec{E}$的方向，大小等于通过与该点电场强度方向垂直的单位面积的电流强度。即
\begin{align}
\vec{j} = \frac{dI}{dS_\perp}\vec{n}
\end{align}
单位为$A/m^2$。

\item 通过导体中任一面积的电流为
\begin{align}
I = \int_S j\cos\theta dS = \int_S \vec{j}\cdot d\vec{S}
\end{align}
\end{enumerate}


\newpage
\section{稳恒电流的磁场}
\subsection{电流的磁效应——奥斯特的发现}
\subsubsection{前人的论断与观察}
\begin{itemize}
\item 电流磁效应的发现，在电学的发展史中占有重要地位。
\item 电现象和磁现象具有相似性，并且库仑先后建立了电力和磁力的平方反比定律，说明它们有类似的规律。但是库仑认为两者没有关系。
\item 然而，实际的事例不断吸引人们的注意，如：
\begin{itemize}
\item 1731年，有一名英国商人说，雷闪过后他的一箱新刀叉竟带上了磁性。
\item 1751年，富兰克林发现在莱顿瓶放电后，缝纫针磁化了。
\end{itemize}
\end{itemize}


\newpage
\subsubsection{奥斯特的发现}
他的工作就像探到一个矿一样。



\newpage
\subsection{知识要点}
\subsubsection{安培定律——电流间的相互作用力}
\begin{enumerate}
\item 安培定律：两个电流元之间的相互作用力为
 \begin{align}
d\vec{F}_{21} = k \frac{I_2 d\vec{l}_2\times (I_1d\vec{l}_1 \times \vec{e}_{r_{21}})}{r_{21}^2}
\end{align}

\item 两回路$C_1$与$C_2$的作用力为
\begin{align}
\vec{F}_{C_1\rightarrow C_2} = k\oint_{C_1} \oint_{C_2}  \frac{I_2 d\vec{l}_2\times (I_1d\vec{l}_1 \times \vec{e}_{r_{21}})}{r_{21}^2}
\end{align}

\item 电流为$I$的载流回路$C$所产生的磁场对电流元$I_0d\vec{l}_0$的作用力为
\begin{align}
\vec{F} = k I_0 d\vec{l}_0 \times \oint_C \frac{Id\vec{l}\times \vec{e}_r}{r^2}
\end{align}

\item 磁感强度的引入：在上式中，对于确定的载流回路，式中的积分值与$I_0d\vec{l}_0$的大小和方向都无关，但与$I_0d\vec{l}_0$的所在位置有关。引入$\vec{B}$表示这一积分值，即
\begin{align}
\vec{B} = k\oint \frac{Id\vec{l}\times \vec{e}_r}{r^2}
\end{align}
则$\vec{B}$就反映了$I_0d\vec{l}_0$所在处由载流回路$C$所产生的磁场强弱，因此把$\vec{B}$称为磁场的磁感强度。

\item 需要注意的是：对比于电场强度$\vec{E}$，把$\vec{B}$称为磁场强度是合适的，然而，由于历史原因，却把$\vec{B}$称为磁感强度，而把磁场强度的名称给了另外一个物理量。

\item 安培定律：引入磁感强度后，磁场对电流元的作用力表示
\begin{align}
d\vec{F} = I_0d\vec{l}_0\times \vec{B}
\end{align}

\end{enumerate}



\newpage
\subsubsection{毕奥-萨发尔定律——电流元的磁感强度}
\begin{align}
d\vec{B} = k \frac{Id\vec{l}\times \vec{e}_r}{r^2}
\end{align}



\newpage
\subsubsection{磁场的高斯定理}
\begin{itemize}
\item 与静电场不同，磁感线是闭合的，磁场中不存在磁感线的首和尾。

\item 若在磁场中作一任意形状的封闭曲面，则根据磁感线的闭合特性，进入封闭曲面的磁感线的条数必须等于离开该封闭曲面的磁感线的条数。表示为
\begin{align}
\oint_S \vec{B}\cdot d\vec{S} = 0
\end{align}
这就是磁场的高斯定理。也是自然界中不存在磁单极的数学表述。
\end{itemize}


\newpage
\subsubsection{磁场的环流定理——安培环路定理}
\begin{align}
\oint_C \vec{B}\cdot d\vec{l} = \mu_0 \sum_k I_k
\end{align}
其中$I_k$是被闭合路径$C$所圈围的电流。当电流的方向与积分路径的饶行方向组成右手螺旋时，该电流取正号，否则取符号。

\begin{enumerate}
\item 特例：以无限长的载流直导线产生的磁场进行推导。
\begin{itemize}
\item 同心圆环圈围情形；
\item 任意形状的闭合路径圈围情形；
\item 任意形状不圈围情形。
\end{itemize}

\item 尽管未被闭合路径圈围的电流对磁场的环流没有贡献，但它们对空间各点的磁场是有贡献的，空间任一点的磁场是由所有的电流共同产生的。

\item 磁场的环流不为零，表明磁场是非保守场，是有旋场，不能引入像电势那样的标量函数来描写磁场。
\end{enumerate}


\newpage
\subsubsection{洛伦兹力}
洛伦兹力：磁场对运动电荷的作用力。\\
证明：1、写出电流由电荷的运动表示
\begin{align}
I=\frac{dQ}{dt}
\qquad 
dQ = qdN
\qquad 
dN = ndV = nSdl
\end{align}
于是
\begin{align}
I = \frac{qnSdl}{dt} = qnSv
\end{align}
由安培定律$d\vec{F} = I d\vec{l}\times \vec{B}$，有
\begin{align}
dF = B I dl\sin\theta
=BqnSv dl \sin\theta
=qvB\sin\theta(nSdl)
=qvB\sin\theta dN
\end{align}
于是，单个运动电荷受到的磁场力为
\begin{align}
f = \frac{dF}{dN} = qvB \sin\theta
\end{align}
加上方向为
\begin{align}
\vec{f} = q\vec{v}\times \vec{B}
\end{align}


\newpage
\subsubsection{霍尔效应}
电场力：
\begin{align}
f_e = qE = q\frac{U_M-U_N}{b} = q\frac{U_H}{b}
\end{align}
洛伦兹力：
\begin{align}
f_m = qvB
\end{align}
两种力到达平衡，$f_e =f_m$，即
\begin{align}
qvB =q\frac{U_H}{b}
\qquad
\Longrightarrow
\qquad
U_H = bvB
\end{align}
考虑到
\begin{align}
I = nqvbd 
\qquad
\Longrightarrow
\qquad
bv = \frac{1}{nq}\frac{I}{d}  
\end{align}
有
\begin{align}
U_H = \frac{1}{nq}\frac{IB}{d} = R_H \frac{IB}{d}
\end{align}


\newpage
\subsubsection{磁介质中的安培环路定理}
\begin{enumerate}
\item 磁矩的定义：
\begin{align}
\vec{P}_m = I_0 S \vec{n}
\end{align}
其中$S$为载流线圈所围面积，$\vec{n}$为线圈平面的法线方向，$I_0$为线圈中的电流。

\item 磁力矩的定义：
\begin{align}
\vec{F}_M = \vec{P}_m \times \vec{B}
\end{align}

\item 磁力的功：
\begin{align}
dW = I d\phi_m
\qquad
W = I \Delta \phi_m
\qquad
W = \int_{\phi_{m1}}^{\phi_{m2}}I\phi_m
\end{align}
磁力矩所做的功等于电流强度乘以通过载流线圈的磁通量的增量。

\newpage
\item 磁化强度：描述磁介质的磁化程度，表示为磁介质某点处单位体积内分子磁矩的矢量和。即
\begin{align}
\vec{M} = \frac{\sum_i\vec{P}_{mi}}{\Delta V}
\end{align}

\item 磁化强度与磁化电流的关系
\begin{itemize}
\item 磁化面电流$I_s$：在均匀磁介质内部任意位置处，通过的分子电流是成对的，而且方向相反，结构相互抵消。只有在截面边缘处，分子电流未被抵消，形成与截面边缘重合的圆电流$I_s$，对于磁介质整体来说，称为磁化面电流。

\item 磁化面电流密度$j_s$：每单位长度的分子面电流。

\item 磁化强度的大小：
\begin{align}
M = \frac{\sum_i P_{mi}}{\Delta V} = \frac{j_s lS}{Sl} = j_s
\end{align}

\item 磁化强度与磁化电流的关系：
\begin{align}
\oint \vec{M}\cdot d\vec{l} = I_s
\end{align}
其中$I_s$是通过闭合回路的总磁化电流。
\end{itemize}

\item 磁介质中的安培环路定理：
磁场强度矢量沿任一闭合路径的线积分等于包围在环路内各传导电流的代数和，而与磁化电流无关。
\begin{align}
\oint_L \vec{H}\cdot \vec{l} = \sum I_i
\end{align}
其中 $\vec{H}$为磁场强度
\begin{align}
\vec{H} = \frac{\vec{B}}{\mu_0} -\vec{M}
\end{align}

\item 对于均匀各向同性的弱磁介质
\begin{align}
\vec{M} = \chi_m \vec{H}
\end{align}
于是
\begin{align}
\vec{B} = \mu_0 \vec{H} +\mu_0\vec{M} = \mu_0 (1+\chi_m)\vec{H} = \mu_0\mu_r\vec{H} = \mu\vec{H}
\end{align}
其中$\mu_r=1+\chi_m$是相对导磁率。
\end{enumerate}




\newpage
\section{变换的电磁场}

\subsection{麦克斯韦方程}
\subsubsection{物质方程}
\begin{align*}
&\vec{j} =\sigma \vec{E}\\
&\vec{D}=\varepsilon \vec{E}\\
&\vec{B}=\mu \vec{H}
\end{align*}




\subsubsection{麦克斯韦方程组}
\begin{align}
&\nabla \times \vec{H} =\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}\\
&\nabla\times \vec{E} = -\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}\\
&\nabla \cdot \vec{D} =\rho\\
&\nabla \cdot \vec{B} =0
\end{align}
物理意义：

（1）安培环路定理；

（2）法拉第电磁感应定律；

（3）高斯定理；

（4）闭合曲面穿过磁通量为0，电磁场为无源场。




\subsubsection{电荷守恒定律}
对麦克斯韦方程（1）$\nabla \times \vec{H} =\vec{j}+\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}$两边取散度
$$\nabla\cdot \nabla\times\vec{H}=\nabla\cdot \vec{j}+\nabla \cdot\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}$$
散度的旋度为0，有
$$\nabla\cdot\nabla\times\vec{H}=0$$
对麦克斯韦方程（3）$\nabla \cdot \vec{D} =\rho$两边对时间$t$求偏导，有
$$\nabla\cdot\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}=\frac{\partial \rho}{\partial t}$$
综合以上三式，有
$$\nabla\cdot\vec{j}=-\frac{\partial\rho}{\partial t}$$


\subsubsection{介质中波动方程}
对电场的旋度再取旋度（对麦克斯韦方程（2）$\nabla \times \vec{E}=-\frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$两边取旋度）
$$\nabla\times\nabla\times\vec{E}=-\nabla\times \frac{\partial\vec{B}}{\partial t}$$
利用旋度运算公式
$$\nabla\times\nabla\times\vec{E}=\nabla(\nabla\cdot\vec{E})-\nabla^2\vec{E}$$
在透明介质中$\rho=0,\nabla\cdot\vec{E}=0,\sigma=0,\vec{j}=0$，于是
$$\begin{cases}
\nabla\times\vec{H}=\varepsilon\frac{\partial \vec{E}}{\partial t}&\text{麦克斯韦方程（1）式}\\
\nabla\cdot\vec{D}=\varepsilon\nabla\cdot\vec{E}=0 &\text{麦克斯韦方程（3）式}
\end{cases}$$
$$\begin{cases}
&\nabla\times\nabla\times\vec{E} = -\nabla^2\vec{E}\\
&-\nabla\times\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}=-\nabla\times\frac{\partial \mu\vec{H}}{\partial t}=-\mu\frac{\partial (\nabla\times\vec{H})}{\partial t}=-\mu\varepsilon \frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}=-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 \vec{E}}{\partial t^2}
\end{cases}$$
得电场在透明介质中的波动方程
$$\nabla^2\vec{E}=\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}$$




\end{document}