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title: "CAPM模型简要回顾"
author: "张剑"
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    footer: "经济学院"
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# CAPM模型
## 风险的衡量与含义
- 一般将投资风险定义为实际收益对预期收益的偏离，数学上可以用预期收益的方差来衡量
- 方差或标准差越大，随机变量与数学期望的偏离越大，风险就越大。

## 风险与收益的综合：变异系数

变异系数，也即夏普比率，是指每获得单位收益所承担风险

$$变异系数 = CV = \frac{标准差}{预期收益率} = \frac{\sigma}{E(R)}$$


## 风险溢价与资产选择    
- 风险溢价（Risk Premium），是指超过无风险资产收益的预期收益，这一溢价为投资的风险提供了补偿。其中的无风险（risk-free）资产，是指其收益确定，从而方差为零的资产。一般以货币市场基金或者短期国债作为无风险资产的代表品。

- 如果投资者是风险厌恶的，则其对于证券A和证券B的选择，当且仅当$E(r_A) \geq E(r_b)$,且 $\sigma_A^2 \leq \sigma_B^2$成立时，投资者应选择证券A而放弃证券B。

- 这即是根据风险与收益的关系进行资产选择的原则之一

## 风险的分类
### 非系统性风险
可以通过证券组合消除,市场组合或整个市场的非系统性风险为0

## 系统性风险
可以用某证券的收益率与市场收益率之间的$\beta$系数代表该证券的系统性风险
$$\beta_i = \frac{\sigma_{im}}{\sigma_m^2}$$
一个证券组合的$\beta_p$,它等于该组合中各证券的$\beta$系数的加权平均,权重为各种证券市值占比

$$\beta_p = \sum_{i=1}^nx_i\beta_i$$


## 系统性风险的判断
- $\beta_i$与1的关系

- 等于、大于还是小于市场风险，本身无好坏之分，要依据投资策略而看。因为一方面存在高风险高收益，另一方面不同投资者（或机构）对风险的偏好（目标）不一样。若投资策略是追求风险价值，则<1或＝1是无效组合。

## 资产组合的收益和风险衡量
#### 资产组合的收益
- 组合资产的投资决策，不仅要考虑单个资产的收益和风险，而且要考虑资产组合作为一个整体的收益和风险；还需要决定对组合中的某一单独资产的投资比例。
- 资产组合的预期收益$E(r_p)$是资产组合中所有资产预期收益的加权平均，其中的权数$x$为各资产投资占总投资的比率
$$E(r_p)=\sum_i^nx_iE(r_i)$$

## 2. 效用函数与风险偏好
- 效用在经济学上是指人们从某事物中所得到的主观的满足程度。
- 投资者的效用是投资者对各种不同投资方案形成的一种主观偏好指标（态度）。投资者的效用是其财富的函数。假定投资者为理性效用最大化者（Rational Utility Maximizers）
- 投资者的目标是在服从预算约束的条件下，使当前消费效用和期望财富（未来消费）效用—— $E [U(W)]$，最大化。
- 未来财富由投资策略所决定。由于未来的投资回报为**随机变量**，因此未来的财富水平也是**随机的**。

## 效用函数与风险态度
- 在未来不确定的环境下，投资者总是期望从投资中获得较大的未来效用（财富），而其期望效用是一随机变量（财富）的函数。因此，投资者对风险的态度由其效用函数的形态所决定

- 效用函数可分为三类：凹性效用函数、凸性效用函数和线性效用函数，分别表示投资者对风险持回避态度、喜好态度和中性态度。

## 均值-方差框架下的效用函数
如果收益服从联合正态分布（即所有资产收益都服从正态分布，它们间的协方差服从正态概率定律），则可以通过选择最佳的均值和方差组合实现期望效用最大化。即所谓均值-方差分析框架。

###  均值-方差下的效用价值与确定性等价利率
- 衡量一项投资或投资组合的效用，即是观察其风险与收益的匹配状态：在风险一定的情况下，预期的收益越高，该投资或资产组合的效用价值越大；
- 而其收益波动性越强的投资或资产组合，效用值就越低。

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给定预期收益为$E(r)$，收益波动性（方差）为$\sigma^2$，则资产组合的效用价值为：

$$U=E(r)-0.005A\sigma^2$$

- 式中U为效用价值；A为投资者的风险厌恶指数；
- 系数0.005是一个按比例计算的方法，这使得我们对标准差、预期收益率的代入计算都不需要%，而只需要在最后的结果加上%。

- 公式表明，给定风险下，高预期收益会提高效用；而给定预期收益时，高波动性（风险）将较低效用。

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一个资产组合的确定性等价的利率（certainty equivalent rate）是为使无风险投资与风险投资具有相同吸引力而确定的无风险投资的报酬率

如果我们对一项无风险资产进行投资，则其投资效用为：
$$U=E(r)-0.005A\sigma^2=E(r)$$
    
即无风险资产的效用与其预期收益率合一。

## 从组合选择到市场均衡
. . .

<br>
一些基础概念

:::{incremental}

- 市场组合就是包含了所有风险资产的整个市场
- 如果市场组合不等于整个风险资产市场，有些风险资产就一定没有出清，资产价格（以及资产的期望回报率和方差）就会随之调整来使得市场出清
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. . .

均衡：**所有人都和谐地做到了最好**

:::{incremental}
- 所有人都实现了自己的理性、所有人的最优行为融洽并存、 现实世界无时无刻不处在均衡之中

:::

## CAPM的假设
. . .

<br>
对市场所做的简化假设


- 没有交易成本（佣金、买卖价差等）
- 没有税收
- 所有资产都可以任意交易，并且无限可分
- 完全竞争：所有人都是价格的接受者，没有影响价格的能力
- 存在无风险利率：投资者可以按该利率进行借贷，并且对所有投资者而言无风险利率都是相同的



## CAPM的假设
. . .

<br>
对投资者的假设

:::{incremental}
- 所有人都以均值方差的方式选择投资组合：偏好更高的期望回报率，以及更低的回报率波动率
- 所有资产（包括无风险资产）都可以任意买空卖空
- 一致预期：所有人针对相同的时间区间（1期）考虑投资问题，并对资产的预期回报率和预期波动率状况**有相同预期**，同质期望（homogeneous expectations）

:::

## CAPM的第一种推导-1

假设一个市场组合M的投资者的效用函数为
$$u(r) = E(r)-A\sigma^2(r)$$

- A代表风险厌恶程度

. . .

构建新的组合p，其中1-w份额的财富放在市场组合M上，剩下的w份额财富投在任意一种资产i上


## CAPM的第一种推导-2 {.scrollable}

$$
\begin{aligned}
u\left(r_p\right) & =u\left[w r_i+(1-w) r_M\right] \\
& =E\left[w r_i+(1-w) r_M\right]-A \sigma^2\left[w r_i+(1-w) r_M\right] \\
& =w E\left(r_i\right)+(1-w) E\left(r_M\right)-A\left[w^2 \sigma_i^2+(1-w)^2 \sigma_M^2+2 w(1-w) \sigma_{i M}\right] \\
& =w E\left(r_i\right)+(1-w) E\left(r_M\right)-A w^2\left(\sigma_i^2+\sigma_M^2-2 \sigma_{i M}\right)-2 A w\left(\sigma_{i M}-\sigma_M^2\right)-A \sigma_M^2
\end{aligned}
$$

## CAPM的第一种推导-3{.scrollable}
将 w 份额的财富从市场组合 M 转换到资产 i 上，带给投资者的边际效用为
$$
\frac{d u\left(r_p\right)}{d w}=E\left(r_i\right)-E\left(r_M\right)-2 A w\left(\sigma_i^2+\sigma_M^2-2 \sigma_{i M}\right)-2 A\left(\sigma_{i M}-\sigma_M^2\right)
$$

由于 M 是投资者的最优选择，所以在 w=0 处，上面这个边际效用应该等于 0

把财富从**市场组合**分配到其他任意一种资产上**不会给**投资者带来效用的提升

. . . 

$$
\left.\frac{d u\left(r_p\right)}{d w}\right|_{w=0}=E\left(r_i\right)-E\left(r_M\right)-2 A\left(\sigma_{i M}-\sigma_M^2\right)=0   （1）
$$

## CAPM的第一种推导-4
由于这个边际效用对任何一种资产都是0,所以理应对无风险资产$r_f$也是0，故将$r_f$代入可得

. . . 

$$r_f - E(r_M)+2A\sigma^2_m = 0$$

. . . 

$$A = \frac{E(r_M)-r_f}{2\sigma_M^2}$$

. . .

将这个计算出来的 A 代回（1）

. . .

$$
E\left(r_i\right)-E\left(r_M\right)-\frac{E\left(r_M\right)-r_f}{\sigma_M^2}\left(\sigma_{i M}-\sigma_M^2\right)=0
$$

$$
\Rightarrow E\left(r_i\right)-r_f=\frac{\sigma_{i M}}{\sigma_M^2}\left[E\left(r_M\right)-r_f\right]
$$

## CAPM的第一种推导-5
定义：
$$\beta_i = \frac{\sigma_{im}}{\sigma_M^2}$$

那么：
$$
E\left(r_i\right)-r_f=\beta_i\left[E\left(r_M\right)-r_f\right]
$$

. . .

CAPM表明：均衡时所有资产的期望回报率之间存在一个线性关系。线性关系的自变量是各个资产的 $\beta$，斜率则是市场组合的超额回报率

## 从CAPM的视角看风险
:::{incremental}
对风险的重新定义

- 均值方差分析中，不确定性由资产回报率的波动率来刻画
- **但如果某些不确定性可以通过投资者自己的处理而被消除，它就不应该被算作真正的风险**，市场也就不应该对持有这些不确定性给出奖励
- 分散化可以消除资产回报率中的一部分不确定性，从而降低投资者需要承担的不确定性，**所以必须要把风险和分散化联系起来分析**
- 决定资产期望回报率的**不是**资产回报率的波动率，**而是**资产回报率与市场组合波动的相关性（β）

:::

## 几个利用CAPM的思考题
<br> 

- 生物药品研发公司和水泥公司谁的股价应该更高？

<br>

- 有没有可能存在预期回报率低于无风险利率的风险资产？


## 几个利用CAPM的思考题

- 面对两种期望回报率一样的资产，投资者是否一定会选择波动率小的资产而不选波动率大的？

. . .

$$u(r) = E(r) - A\sigma^2(r)$$

- 如果两种资产的波动方差相等,那一定是期望回报率高的 资产能带来更高效用;又因为 A 是正数，所以两种期望回报率一样的资产，一定是波动率小的资产带来的效用更高

- 但是投资者真正关心的是组合后的波动率，而不是单个资产的波动率。可能存在：**波动率高的资产加入到投资者的组合中，反而会改善 整个组合的夏普比率**。

## 如何理解CAPM中的风险
- 就是任意资产的回报率波动中，有一部分是可以 被分散掉的“个体风险”，一部分是不能被分散掉的“系统风险”。
- 理性的投资者要持有风险资产，**应该是以持有消除了所有个体风险的市场组合的方式持有**。
- 某个投资者可能会以别的 方式持有风险资产。但他这么做必然会导致他承担了过多的风险。**市场不会补偿这样愚蠢的行为。**

## 如果理解上面的内容

<br>

假设整个市场只有2个资产，A和B，它们是对称资产，$G_A(1,0,0.5)$,同样$G_B(0,1,0.5)$
请思考，如果你是投资者，你会如何配置资产？

- 如何理解一个投资者只买A或B所承受的风险？

## 市场模型——估计CAPM
市场模型的具体形式：
$$R_{it} = \alpha + \beta_iR_{mt}+\epsilon_{it}$$
上式也被称为单指数模型。如果 CAPM 理论精确成立，市场只补偿资产所含有的系统风险，而不补偿资产中的个体风险
其中：

Rit=证券i在期间t的回报；Rmt=市场指数在期间t的回报；

$\alpha_i$ 证券i的截距项

$\beta_i$证券i的回报相对于市场指数的回报的测定

$\epsilon_i$在时期t的实际回报和给定市场回报时的预期回报之间的差

## 对CAPM模型扩展性检验

<br>

在CAPM中加入其他因素，如公司规模、股利政策等，检验这些因素对资产定价（收益率）的影响。

根据经典CAPM，这些因素不应有影响，但实证检验发现了如下结果：

- 规模效应，也称小公司效应。即小公司的收益超过大公司的收益
- 一月效应。即每年一月份股票收益率远高于其他月份的股票收益率。
- 周末效应。即一周中周五的收益率最高。

. . .

**上述结果表明CAPM所揭示的影响资产定价的因素不全面**

# CAPM模型的应用

## 进行证券分类
如果一只股票的贝塔值大于1，即大于市场组合的贝塔值，意味着其风险大于市场风险，则为攻型股票；

<br>

如果贝塔值小于1，即小于市场组合的贝塔值，意味着其风险小于市场风险，则为防守型股票；

<br>

如果贝塔等于1，则为中性股票。

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大盘股、小盘股、蓝筹股、成长股、高科技股、钢铁股、公用设施股等俱可以依据贝塔进行分类。

## 进行证券投资的积极管理

对积极的组合管理而言，可利用CAPM预测市场走势、计算资产β值。当预测市场价格将上升时，由于预期的资本利得收益将增加，根据风险与收益相匹配的原则，可增加高β值资产持有量；反之增加
低β值证券的持有量。


<br>


积极管理的投资决策有赖于投资经理对未来一段时间大盘走势的预测，预测的是否准确可以从一个侧面反映投资经理的积极管理能力和择时能力。

## 任务
任选一只非指数基金，选择时间不少于8年，利用该基金日涨跌幅和上证指数日涨跌幅作为估计市场模型的基础数据，每半年为一个时间段，做一次回归，计算该基金的贝塔值并且将该基金16次估计的贝塔值绘制在直角坐标系中，并给出你们的解读。

## $\alpha系数$

资产价格与期望收益率处于不均衡状态，又称资产的错误定价，这可以用系数度量，其计算公式为:

$$\alpha_i = E(R_i)- E'(R_i)$$

$$E'(R_i)= R_f + (E(R_M)-R_f)\beta_i$$

$E(R_i)$：资产i的期望收益率，来自历史数据

. . .


如果某资产的$\alpha$系数为零，则它位于SML上，说明定价正确；如果某资产的$\alpha$系数为正数，则它位于SML的上方，说明价值被低估；如果某资产的$\alpha$系数为负数，则它位于SML的下方，说明价值被高估。


## α与β的综合应用

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α= 证券预期收益率与CAPM（均衡收益率）的差异，代表了市场偏差，投资决策就是识别市场偏差与利用市场偏差的过程。

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$\beta$代表系统风险的大小

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积极的投资管理可以区分为两种策略：

- 趋势性投资：调整组合的$\beta$，在上升通道加大组合的$\beta$，在下降通道降低组合的$\beta$。

- 价值性投资：不管市场波动，追求α大于零的证券。