本章主要介绍OPENFOAM的IATE直径模型推导。
#64 IATE直径模型的推导
## 64.1 数密度传输方程

我们首先从气泡数密度分布f=f(V,x,t)的传输方程开始推导。
为了便于阅读，以下我们简称f(V,x,t)为f。

公式319方程左侧的第一项是气泡数密度分布的局部变化率，第二项是对流项，第三项代表气泡体积变化所产生的变化率。方程右侧代表由于气泡项目作用$$S_j$$和相变$$$S_{ph}$。
$$
\frac{\partial f}{\partial t}+A_i\nabla\cdot(f\mathbf{u})+ \frac{\partial}{\partial V}(F\frac{dV}{dt})=\sum_{j}S_j+S_{ph}
$$

气泡数密度分布详见文献[39]。在此，本章仅推导面浓度$$$a_i$的传输方程。面浓度是气泡数密度分布的力。此外，本章还会对气泡数密度分布的力进行定量推导。

公式320 列出了概率分布函数f(x)的第i个力$$$m_i$

$$
\int_a^bf(x)x^idx
$$

本章另定义以下气泡数密度分布的三个参数：

每体积内气泡总数
$$
n(x,t)=\int_{V_{min}}^{V_{max}}f(V,x,t)dV
$$
气泡的体积分数
$$
a(x,t)=\int_{V_{min}}^{V_{max}}f(V,x,t)VdV
$$
气泡的面浓度
$$
a_i(x,t)=\int_{V_{min}}^{V_{max}}f(V,x,t)A_i(V)
$$

## 64.2界面面积的传输方程
### 64.2.1 统御方程的推导
本章从公式319推导面浓度的传输方程。首先，本章将公式319乘以V体积下气泡的界面面积$$a_i$$。
$$
A_i\frac{\partial f}{\partial t}+A_i\nabla\cdot(f\mathbf{u})+A_i\frac{\partial}{\partial V}(f\frac{dV}{dt})=A_i\left(\sum_{j}S_j+S_{ph}\right)dV
$$
对公式324就所以气泡体积进行积分，得到：
$$
\int_{V_{min}}^{V_{max}}\left[A_i\frac{\partial f}{\partial t}+A_i\nabla\cdot(f\mathbf{u})+A_i\frac{\partial}{\partial V}(f\frac{dV}{dt})\right]dV=\int_V_{min}^V_{min}\left[A_i\left(\sum_{j}S_j+S_{ph}\right)\right]dV
$$
对公式325每个项进行分析。
我们对第一项进行莱布尼茨转换，由于$$$A_i$在时间和空间内是常数，我们易得局部的界面面浓度$$a_i$$的导数。
$$
\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_i\frac{\partial f}{\partial t}dV=\frac{\partial}{\partial t}\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_ifdV
$$
$$
\int_{v_{min}}^{v_{max}}A_i\frac{\partial f}{\partial t}dV=\frac{\partial}{\partial t}a_i
$$
同样思路应用于公式325中的对流项，假定速度不受气泡大小的影响，速度u可以从积分项中提出。我们可以易得界面面浓度的对流项。
$$
\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_i\nabla\cdot(f\mathbf{u})dV=\int_{V_{min}}^{V_{max}}\nabla\cdot(A_ifu)dV
$$
$$
\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_i\nabla\cdot(f\mathbf{u})dV=\nabla\cdot\left(u\int_{V_{min}}^{V_{max}}\nabla\cdot(A_ifu)dV\right)
$$
$$
\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_i\nabla\cdot(f\mathbf{u})dV=\nabla\cdot(ua_i)
$$
假定速度受气泡大小的影响，通过以下转换，我们依然可以得到界面面浓度的对流项。
$$
\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_i\nabla\cdot(f\mathbf{u})dV=\int_{V_{min}}^{V_{max}}\nabla\cdot(\frac{a_i}{a_i}A_ifu)dV
$$
$$
\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_i\nabla\cdot(f\mathbf{u})dV=\nabla\cdot\left(a_i\frac{\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_ifudV}{a_i}\right)
$$
$$
\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_i\nabla\cdot(f\mathbf{u})dV=\nabla\cdot(a_iu_i)
$$

气泡数加权的平均局部气泡速度$$$u_i$
$$
u_i=\frac{\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_ifudV}{\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_ifdV}
$$

公式325的第三项需要特殊处理，在64.5.1中我们将详细证明公式335。该项于气体膨胀有关。
$$
\int_{V_{min}}^{V_{max}}A_i\frac{\partial}{\partial V}(f\frac{dV}{dt})dV=-\frac{2}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}a_i
$$
公式右侧的各项包含了第一、气泡与气泡之间相互作用，第二、相变。

$$
\int_{V_{min}}^{V_{max}}\left[A_i\frac{\partial f}{\partial t}+A_i\nabla\cdot(f\mathbf{u})+A_i\frac{\partial}{\partial V}(f\frac{dV}{dt})\right]dV = \int_{v_{min}}^{v_{max}}A_i\left(\sum_jS_j+S_{ph}\right)
$$

有两种方法模拟气泡与气泡之间的相互作用。方法一直接积分求解公式。方法二利用平均值进行数值计算。
方法二假定气泡同质化，例如较大的气泡分裂成两个一样的小气泡。该方法下，每个气泡之间的相互作用回导致界面面积的变化$$\nablaA_i=\frac{1}{3}A_i$$。
$$
\int_{v_{min}}^{v_{max}}A_i\sum_jS_jdV=\phi_{j}
$$
$$
\phi_{j}=S_{j}\Delta A_{i}
$$
式中界面面积$$A_{i}$$
$$
A_{i}=\frac{a_{i}}{n}
$$
对于球形气泡，气泡数密度n,$$\psi=\frac{1}{36\pi}$$：
$$
n=\psi \frac{a^{3}_{i}}{a^2}
$$
$$
\phi _{j}=\frac{1}{3}\frac{1}{\psi}\left(\frac{\alpha}{a_i}\right)^2S_j
$$
相变变化的项可以直接进行模拟，但在本章中我们不考虑相变变化。因此，我们得到界面面浓度$$a_{i}$$的传输公式。
$$
\frac{\partial a_i}{\partial t}+\nabla (\mu a_i)=\frac{2}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}a_i+\sum_j\frac{1}{3}\frac{1}{\psi}\left(\frac{\alpha}{a_i}\right)^2S_j
$$
## 64.3 界面曲率的传输公式
### 64.3.1 基本定义
IATE直径模型可以求解界面曲率Kappai的传输公式。
求解每单位体积相的界面曲率而不是界面面积每单位体积，从而避免相与单位体积界面间的一致性要求的稳定性问题
每单位体积的分数和界面面积。

通过分析公式，我们得出以下关系：
$$a_{i}=\alpha\kappai$$
$$d_{sm}=\frac{6}{\kappai}$$
因此，Sauter平均直径$$d_{sm}$$等于
$$$d_{sm}=\frac{6\alpha}{a_{i}}$
与文献中直径定义一致。
$$d_{sm}=\frac{6\alpha}{a_{i}}$$
IATE直径模型基本公式342和公式343的OPENFOAM指令可以见表498和表499。
'''
1 // - Return the interfacial area
2 tmp < volScalarField > a() const
3 {
4 return phase_ * kappai_ ;
5 }
'''
表498：IATE直径模型文件IATE.H中关于方法a()的定义
'''
1 Foam :: tmp < Foam :: volScalarField > Foam :: diameterModels :: IATE :: dsm () const
2 {
3 return max (6/ max ( kappai_ , 6/ dMax_ ), dMin_ );
4 }
'''
表499：IATE直径模型文件IATE.C中关于方法 dsm()的定义

用Kappai_来表示界面曲率似乎无法理解，球形曲率应该是其半径的倒数。

### 64.3.2 统御方程的定义
通过气泡大小分布的传输方程我们可以得出界面面浓度公式，并由此可以得出界面曲率的统御方程。
我们仅需要重新排布这些公式，不需要做额外的假设。界面面浓度$$a_{i}$$传输方程和OPENFOAM定义的面浓度$$a_{i}$$。
$$
\frac{\partial a_i}{\partial t}+\nabla \cdot (\mu a_i)=\frac{2}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}a_i+\sum_j\frac{1}{3}\frac{1}{\psi}\left(\frac{\alpha}{a_i}\right)^2S_j
$$
$a_i=\alpha\kappai$

将公式342插入公式341得出
$$
\frac{\partial \alpha \kappa}{\partial t}+\kappa \frac{\partial \alpha}{\partial t}+\kappa\nabla\cdot(\mu \alpha)+\alpha\mu\cdot\nabla\kappa=\frac{2}{3}\dot{\alpha}\kappa+\sum_j\frac{1}{3}\frac{1}{\psi}\left(\frac{1}{\kappa}\right)^2S_j
$$
对所以含$\kappa$的项进行偏导
$$
\alpha\frac{\partial\kappa}{\partial t}+\kappa\frac{\partial\alpha}{\partial t}+\kappa\nabla\cdot(\mu\alpha)+\alpha\mu\cdot\nabla\kappa=\frac{2}{3}\dot{\alpha}\kappa+\sum_j\frac{1}{3}\frac{1}{\psi}\left(\frac{1}{\kappa}\right)^2S_j
$$
$$
\underbrace{\kappa[\frac{\partial \alpha}{\partial t}+\nabla\cdot(\mu\alpha)]}_{\dot{\alpha}}+\alpha[\frac{\partial\kappa}{\partial t}+\mu\cdot\nabla\kappa]=\frac{2}{3}\dot{\alpha}\kappa+\sum_j\frac{1}{3}\frac{1}{\psi}\left(\frac{1}{\kappa}\right)^2S_j
$$
$$
\alpha[\frac{\partial\kappa}{\partial t}+\mu\cdot\nabla\kappa]=-\frac{1}{3}\dot{\alpha}\kappa+\sum_j\frac{1}{3}\frac{1}{\psi}\left(\frac{1}{3}\right)^2S_{j}
$$
$$
\frac{\partial\kappa}{\partial t}+\mu\cdot\nabla\kappa=-\frac{1}{3}\dot{\alpha}\kappa++\sum_j\frac{1}{3}\frac{1}{\psi}\left(\frac{1}{3}\right)^2S_{j}
$$
在这里，$\frac{1}{\kappa}=\frac{\alpha}{a_i}$
$$
\underbrace{\frac{\partial\kappa}{\partial t}+\nabla(\kappa\mu)}_{I}-\underbrace{\kappa\nabla\cdot\mu}_{II}=\underbrace{-\frac{1}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}\kappa}_{III}+\frac{1}{3\psi}\left(\frac{\alpha}{a_{i}}\right)^2\sum_{j}\frac{S_j}{\alpha}
$$

公式351对应文献中使用的公式，并且右侧第二项形式和文献完全一致。

### 64.3.3 执行方程
我们已经得出K的传输公式，但我们任然需要检查这些公式在OPENFOAM内的执行情况。
'''
1 // Construct the interfacial curvature equation
2 fvScalarMatrix kappaiEqn
3 (
4 fvm :: ddt ( kappai_ ) + fvm :: div ( phase_ . phi () , kappai_ )
5 - fvm :: Sp(fvc :: div( phase_ . phi ()), kappai_ )
6 ==
7 - fvm :: SuSp (R, kappai_ )
8 //+ Rph () // Omit the nucleation / condensation term
9 );
'''
表500： IATE.C文件中传输方程的架构

表500是传输方程的主要指令，公式351的第一项在指令第四行体现，第二项在指令的第五行执行。
表500的右侧项fvm::SuSp(R,Kappai_)融合了公式351右侧的所有项。fvm::SuSp()执行代数组公式。结果带入到R*Kappai_中。

公式351右侧的第一项是气泡体积变化（扩展效应），表501指令执行公式352。
'''
1 // Initialise the accumulated source term to the dilatation effect
2 volScalarField R
3 (
4 (
5 (1.0/3.0)
6 / max
7 (
8 fvc :: average ( phase_ + phase_ . oldTime ()),
9 residualAlpha_
10 )
11 )
12 *( fvc :: ddt( phase_ ) + fvc :: div ( phase_ . alphaPhi ()))
13 );
'''
表501，IATE.C文件执行方程351右侧第一项。
$$
R=\frac{1}{3}\frac{\frac{\partial \alpha}{\partial t}+\nabla\cdot(\alpha \mu)}{\alpha}
$$
fvm::SuSp(R,Kappai_)表示R与kappai_相乘。因此我们可以明显识别公式351右侧的第一项。
$$
III=-\frac{1}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}\kappa
$$
在OPENFOAM中
$$
III=-R\kappa
R=\frac{1}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}
III=-\frac{1}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}\kappa
$$
表502循环覆盖了所有气泡与气泡之间相互作用模型的项，请注意负号。
'''
1 // Accumulate the run - time selectable sources
2 forAll ( sources_ , j)
3 {
4 R -= sources_ [j].R();
5 }
'''
表502： IATE文件中传输公式351右侧的第二项

由于相互作用模型，表502的负号抵消了表500的负号。

## 64.4 相互作用模型
针对气泡与气泡的相互作用，OPENFOAM提高基准方法模拟这些相互作用。以下相互作用机理被执行：

1.由于湍流旋涡导致的气泡的破碎（TI-湍流影响）
2.由于湍流旋涡导致的随机碰撞而引起的气泡凝聚（RC-随机碰撞）
3.由于前一个气泡尾流影响而导致尾流中下一个气泡凝聚（WE-尾流夹带）

IATEsource基本方法中定义了纯虚拟的功能R()，其他推到的方法都必须提高其对应的R()方法。另外，基本方法也提供了其他帮助方法，可以用于推到方法，例如气泡湍流系数Re()和Weber数We()。 
### 64.4.1 TI湍流影响
文献32,33对湍流影响项可以表示为:
$$
n=\psi\frac{a_i^3}{\alpha^2}
$$
$$
\mu_t=\sqrt{2\kappa}
$$
$$
R_{TI}=C_{TI}(\frac{n\mu_{t}}{D_{b})exp(-\frac{W_{cr}}{We})\sqrt{1-\frac{We_{cr}}{We}}，其中$We_{cr}>We$
$$
weber$We$数定义为惯性力和表面张力的比值。
$$
We=\frac{\rho u^2 d}{\sigma}
$$
其中，
$\rho$是密度；
$u$是特征速度；
$d$是特征长度；
$\sigma$是表面张力；

IATEsource基本方法中为其他相互作用模型提高Weber数。具体参见64.4.4。
关键weber数$We_{cr}$和常数$C_{TI}$需要由用户根据使用场景具体定义。
### 64.4.2 随机碰撞
文件[32,33]随机碰撞项可以表示为：
$u_t=\sqrt{2\kappa}$
$$
R_{RC}=C_{RC}[\frac{n^2u_tD_b^2}{\alpha_{max}^{1/3}(\alpha_{max}^{1/3}-\alpha^{1/3})}][1-\exp(-C\frac{\alpha_{max}{1/3}\alpha{1/3}{\alpha_{max}^{1/3}-\alpha^{1/3}})]
$$
常数$C_{RC},C, \alpha_{max}$ 由用户定义。

### 64.4.3 尾流夹带
文献[32,33]尾流夹带项可以表示为
$$
R_{WE}=C_{WE}C_{D}^{1/3}n^2D_b^2u_r
$$
常数$C_{WE}$由用户定义。

64.4.4 IATE方法的具体执行
Weber数
表503是IATEsource执行Weber数，方法Ur()也由IATEsource提供。
'''
1 Foam :: tmp < Foam :: volScalarField > Foam :: diameterModels :: IATEsource :: We ()
2 const
3 {
4 return otherPhase (). rho ()* sqr(Ur ())* phase ().d()/ fluid (). sigma ();
5 }
'''
表503：在IATEsource.C中Weber数的定义。

相对速度
文献[]30,38]定义气泡和其周围流体之间的相对速度，与公式364和表504进行对比。
$$
\mu_{r}=\sqrt{2}\left[\frac{\sigmag\triangle\rho}{\rho_L^2}\right]^{1/4}\left(1-\alpha\right)^{1.75}

$$
'''
1 Foam :: tmp < Foam :: volScalarField > Foam :: diameterModels :: IATEsource :: Ur () const
2 {
3 const uniformDimensionedVectorField & g =
4 phase ().U().db (). lookupObject < uniformDimensionedVectorField >("g");
5
6 return
7 sqrt (2.0)
8 * pow025
9 (
10 fluid (). sigma ()*mag(g)
11 *( otherPhase (). rho () - phase (). rho ())
12 / sqr ( otherPhase ().rho ())
13 )
14 * pow ( max (1 - phase () , scalar (0)), 1.75) ;
15 }
'''
表504：IATEsource.C文件定义气泡和其周围流体之间的相对速度

IATE原则上只可以用于气泡模型，例如流体-气泡模型。假如IATE模型用于其他密度比气体大的相，表504的第11行会导致浮点异常FPE。如果其他相相是流体相，第11行会给出负数。将负数提高到非整数幂
在实数域内是不可能的。 因此，OpenFOAM会报错：浮点异常。
对比公式
我们仔细检查表505中IATEsource使用方法R()
'''
1 Foam :: tmp < Foam :: volScalarField >
2 Foam :: diameterModels :: IATEsources :: turbulentBreakUp ::R() const
3 {
4 tmp < volScalarField > tR
5 (
6 new volScalarField
7 (
8 IOobject
9 (
10 "R",
11 iate_ . phase ().U(). time (). timeName () ,
12 iate_ . phase (). mesh ()
13 ),
14 iate_ . phase ().U(). mesh () ,
15 dimensionedScalar ("R", dimless / dimTime , 0)
16 )
17 );
18
19 volScalarField R = tR ();
20 scalar Cti = Cti_ . value ();
21 scalar WeCr = WeCr_ . value ();
22 volScalarField Ut(this ->Ut ());
23 volScalarField We(this ->We ());
24 const volScalarField & d( iate_ .d() ());
25
26 forAll (R, celli )
27 {
28 if (We[ celli ] > WeCr )
29 {
    30 R[ celli ] =
31 (1.0/3.0)
32 * Cti /d[ celli ]
33 *Ut[ celli ]
34 * sqrt (1 - WeCr /We[ celli ])
35 * exp (- WeCr /We[ celli ]);
36 }
37 }
38
39 return tR;
40 }
'''
表505：TurbulentBreakUp.C中R()方法。

表505转换成数学公式：
$$
R_{TI}=\frac{1}{3}\frac{C_{TI}}{d_{sm}}u_{t}\sqrt{1-\frac{We_{cr}}{We}}\exp(-\frac{We_{cr}}{We})，其中We>We_{cr}
$$
对比公式359和公式365,可以发现两者的不同之处。公式359是界面面浓度的传输公式，而公式365是界面曲率$\kappa$的传输公式。

从面浓度公式推到曲率公式，我们需要除以体积分数。否则，需要重新排列和代数置换来求解。
通过检查面浓度$a_i$和曲率$\kappa$的传输公式的右侧，我们可以对比OPENFOAM和文献的公式。
首先面浓度$a_{i}$和曲率$kappa$的传输公式见下，相互作用项$S_j$可以在文献33具体查找。
$$
\frac{\partial a_i}{\partial t}+\nabla \cdot (\mu a_i)=\frac{2}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}a_i+\sum_j\frac{1}{3}\frac{1}{\psi}\left(\frac{\alpha}{a_i}\right)^2S_j
$$

OPENFOAM中的曲率传输公式中的相互作用项：
$$
\frac{\partial\kappa}{\partial t}+\nabla(\kappa\mu)-\kappa\nabla\cdot\mu=-\frac{1}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}\kappa+\underbrace{\sum_{j}R_{j}\kappa}_{IV}
$$
对比第五章公式351和公式366。所有项必须相同，我们可以得出以下公式：
$$
\frac{1}{3\psi}(\frac{\alpha}{\alpha_{i}})^2\sum_{j}\frac{S_j}{\alpha}=\sum_{j}R_j\kappa
$$
假设求和必须相同，我们着重分析湍流破碎项：
$$
\frac{1}{3\psi}(\frac{\alpha}{\alpha_{i}})^2\underbrace{\frac{1}{\alpha}C_{TI}(\frac{n\mu_{t}}{D_b})\exp(-\frac{We_{cr}}{We})\sqrt{1-\frac{We_{cr}}{We}}}_{S_j}=\underbrace{\frac{1}{3}\frac{C_{TI}}{d_{sm}}\mu\sqrt{1-\frac{We_{cr}}{We}}\exp(-\frac{We_{cr}}{We})\kappa}_{R_j}
$$
接下来，我们取消相同项，注意两者公式气泡直径$(D_b=d_{sm})$表示不同。
$$
\frac{1}{\psi}(\frac{\alpha}{\alpha_i})^2\frac{1}{\alpha}n=\kappa
$$
我们插入n的定义
$$
\frac{1}{\psi}(\frac{\alpha}{\alpha_{i}})^2\frac{1}{\alpha}\psi\frac{\alpha_i^3}{\alpha^2}=\kappa
$$
$$
\frac{a_i}{\alpha}=\kappa
$$
最终，我们得出符合规定的公式。曲率$\kappa$可以表示为：
$$
a_i=\alpha\kappa
$$
因此，我们展示OPENFOAM中使用的湍流破碎模型和文献模型一致。

## 64.5附录
### 64.5.1 公式335的证明
我们使用以下代号：
$$
x=V
$$
$$
f(x)=f(V,x,t)
$$
$$
g(x)=A_{i}(V)
$$
$$
a=V_{min}
$$
$$
b=V_{max}
$$
因此公式335左侧可以转换为：
$$
\int_V_{min}^V_{min}A_i\frac{\partial}{\partial V}(f\frac{dV}{dt})dV=\int_a^bg(x)\frac{\partial}{\partial x}(f(x)\frac{dx}{dt})dx
$$
对其进行偏微分：
$$
\int_a^bg(x)\frac{\partial}{\partial x}(f(x)\frac{dx}{dt})dx=\left[f(x)\frace{dx}{dt}g(x)\right]_a^b-\int_a^b\frac{\partial g(x)}{\partial x}(f(x)\frac{dx}{dt})dx
$$

$f(x)$是概率分布函数，具有以下特性。
$$
f(a)=f(b)=0
$$
因此，公式378的右侧第一项消失。
$$
\int_a^bg(x)\frac{\partial}{\partial x}(f(x)\frac{dx}{dt})dx=-\int_a^b\frac{\partial g(x)}{\partial x}(f(x)\frac{dx}{dt})dx
$$
我们可以发现气泡界面面积$A_i$和气泡体积V的关系：
$$
A_i=d^2\pi
$$
V=\frac{d^3\pi}{6}
$$
\longrightarrow d=sqrt[3]{\frac{6V}{\pi}}
$$
$$
A_i=\left(\frac{6V}{\pi})^{2/3}\pi
$$
返回到简化公式进行求证：
$$
g(x)=(\frac{6x}{\pi})^{2/3}\pi
$$
对g(x)进行推到：
$$
\frac{\partial g(x)}{\partial x}=\frac{2}{3}\left(\frac{6}{\pi}\right)^(2/3)(x)^{-1/3}\pi
$$
$$
\frac{\partial g(x)}{\partial x}=\frac{2}{3}\left(\frac{6}{\pi}\right)^(2/3)\frac{(x)^{2/3}}{x}\pi
$$
$$
\frac{\partial g(x)}{\partial x}=\frac{2}{3}\frac{1}{x}\left(\frac{6x}{\pi}\right)^(2/3)\pi
$$
$$
\frac{\partial g(x)}{\partial x}=\frac{2}{3}\frac{g(x)}{x}
$$
插入公式380到公式380
$$
\int_a^bg(x)\frac{\partial}{\partial x}\left(f(x)\frac{dx}{dt}\right)dx=-\int_a^b\frac{2}{3}\frac{g(x)}{x}\left(f(x)\frac{dx}{dt}\right)dx
$$
$$
\int_a^bg(x)\frac{\partial}{\partial x}\left(f(x)\frac{dx}{dt}\right)dx=-\frac{2}{3}\int_a^b\frac{\dot{x}}{x}f(x)g(x)dx
$$
下一步，我们对$\frac{dot{x}}{x}$分析。因为x是气泡体积V，气泡体积V与空隙率或者气体体积分数$\alpha$有关。对于任何控制体$V_{CV}$，气泡体积V等于体积分数乘以控制体积。该推到忽视由于蒸发而导致质量的转换，蒸发变化可以参考文献32。
$$
V=\alphaV_{CV}
$$
$$
\dot{V}=\dot{\alpha}V_{CV}
$$
$$
\frac{\dot{V}}{V}=\frac{\dot{\alpha}V_{CV}}{\alphaV_{CV}}=\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}
$$
$$
\frac{\dot{x}}{x}=\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}
$$
假定体积变化率与体积本身无关。
\frac{dot{V}}{V}\neq=f(V)

使用公式395和公式391，我们得出：
$$
\int_a^bg(x)\frac{\partial}{\partial x}\left(f(x)\frac{dx}{dt})dx=-\frac{2}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}\int_a^bf(x)g(x)dx
$$
使用其他表示形式，公式372可以转换为
$$
\int_a^bg(x)\frac{\partial}{\partial x}\left(f(x)\frac{dx}{dt})dx=-\frac{2}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}\int_a^bfA_idV
$$
$$
\int_a^bg(x)\frac{\partial}{\partial x}\left(f(x)\frac{dx}{dt})dx=-\frac{2}{3}\frac{\dot{\alpha}}{\alpha}a_i
$$
对公式398使用公式323，我们得证335。